Jaka jest długość łuku r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) na cynie [1, ln2]?

Odpowiedź:

Długość łuku #~~ 2.42533 # (5dp)

Długość łuku jest ujemna z powodu dolnej granicy #1# większa niż górna granica # ln2 #

Wyjaśnienie:

Mamy funkcję wektorów parametrycznych, podaną przez:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

Aby obliczyć długość łuku, będziemy potrzebować pochodnej wektora, którą możemy obliczyć za pomocą reguły produktu:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2 t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

# = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> #

Następnie obliczamy wielkość wektora pochodnego:

# | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# "" = sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

Następnie możemy obliczyć długość łuku za pomocą:

# L = int_ (1) ^ (ln2) bb ul r '(t) | dt #

# = int_ (1) ^ (ln2) sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) dt #

Jest mało prawdopodobne, abyśmy mogli obliczyć tę całkę za pomocą techniki analitycznej, więc zamiast tego za pomocą metod numerycznych uzyskujemy przybliżenie:

# L ~~ 2.42533 (5dp)

Długość łuku jest ujemna z powodu dolnej granicy #1# większa niż górna granica # ln2 #