Jak rozwiązać 2sinx = cos (x / 3)?

Odpowiedź:

Nasze przybliżone rozwiązania to:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ lub -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

dla liczby całkowitej # k #.

Wyjaśnienie:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

To jest dość trudne.

Zacznijmy od ustawienia # y = x / 3 # więc # x = 3y # i zastępowanie. Następnie możemy użyć formuły potrójnego kąta:

# 2 sin (3y) = cos y #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

Ustawmy więc, pisząc wszystko w kategoriach # sin ^ 2 y #. Prawdopodobnie spowoduje to powstanie obcych korzeni.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

Pozwolić # s = sin ^ 2 y #. Kwadratowe sinusy są nazywane spready w Rational Trigonometry.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

To równanie sześcienne z trzema prawdziwymi korzeniami, kandydatami do kwadratów sinusów # 3x. # Moglibyśmy zastosować formułę sześcienną, ale to po prostu doprowadzi do pewnych pierwiastków sześciennych liczb zespolonych, które nie są szczególnie pomocne. Weźmy rozwiązanie numeryczne:

# s 0,66035 lub s 0,029196 lub s 0,81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

Pracujmy w stopniach. Nasze potencjalne przybliżone rozwiązania to:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) około pm 163.058 ^ circ lub pm 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) około 29.5149 ^ circ lub pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) około pm 192.573 ^ circ lub pm 732.573 ^ circ #

Zobaczmy, czy któraś z nich działa. Pozwolić #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circ) około 0.00001 quad # to rozwiązanie.

#e (-163.058 ^ circ) ok. -1.17 quad # nie rozwiązanie.

Wyraźnie najwyżej jeden z #po południu# para będzie działać.

Jeszcze dziesięć.

#e (703.058 ^ circ) około 0.00001 quad sqrt #

#e (-703.058 ^ circ) quad # nie

#e (29.5149 ^ circ) około 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # nie

#e (569.51 ^ circ) około 10 ^ {- 4} quad sqrt #

#e (-569.51 ^ circ) quad # nie

#e (192.573 ^ circ) około -.87 quad # nie

#e (-192.573 ^ circ) około 0.00001 quad sqrt #

#e (732.573 ^ circ) około -.87 quad # nie

#e (-732.573 ^ circ) około 0.00001 quad sqrt #

Arcsin zawiera # + 360 ^ circ k #, a współczynnik trzech sprawia, że # 1080 ^ circ k. #

OK, nasze przybliżone rozwiązania to:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad # dla liczby całkowitej # k #.