Dwie liczby różnią się o 3. Suma ich odwrotności wynosi siedem dziesiątych. Jak znaleźć liczby?

Dwie liczby różnią się o 3. Suma ich odwrotności wynosi siedem dziesiątych. Jak znaleźć liczby?
Anonim

Odpowiedź:

Istnieją dwa rozwiązania problemu:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Wyjaśnienie:

Jest to typowy problem, który można rozwiązać za pomocą układu dwóch równań z dwiema nieznanymi zmiennymi.

Niech pierwsza nieznana zmienna będzie # x # i drugi # y #.

Różnica między nimi jest #3#, co daje równanie:

(1) # x-y = 3 #

Ich wzajemności są # 1 / x # i # 1 / y #, której suma jest #7/10#, co daje równanie:

(2) # 1 / x + 1 / y = 7/10 #

Nawiasem mówiąc, istnienie wzajemności wymaga ograniczeń:

#x! = 0 # i #y! = 0 #.

Aby rozwiązać ten system, użyjmy metody podstawiania.

Z pierwszego równania możemy wyrazić # x # pod względem # y # i zastąp w drugim równaniu.

Z równania (1) możemy wyprowadzić:

(3) #x = y + 3 #

Zamień go na równanie (2):

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / y = 7/10 #

Nawiasem mówiąc, wymaga to kolejnego ograniczenia:

# y + 3! = 0 #, to jest #y! = - 3 #.

Używając wspólnego mianownika # 10y (y + 3) # i biorąc pod uwagę tylko liczniki, przekształcamy równanie (4) w:

# 10y + 10 (y + 3) = 7y (y + 3) #

Jest to równanie kwadratowe, które można przepisać jako:

# 20y + 30 = 7y ^ 2 + 21 lat # lub

# 7y ^ 2 + y-30 = 0 #

Dwa rozwiązania tego równania to:

#y_ (1,2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

lub

#y_ (1,2) = (- 1 + -29) / 14 #

Mamy więc dwa rozwiązania # y #:

# y_1 = 2 # i # y_2 = -30 / 14 = -15 / 7 #

Odpowiednio, używając # x = y + 3 #, dochodzimy do wniosku, że istnieją dwa rozwiązania systemu:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

W obu przypadkach # x # jest większy niż # y # przez #3#, więc pierwszy warunek problemu jest spełniony.

Sprawdźmy drugi warunek:

(a) rozwiązanie # (x_1, y_1) = (5,2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - sprawdzone

(b) rozwiązanie # (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - sprawdzone

Oba rozwiązania są poprawne.