Jaka jest domena i zakres y = (x ^ 2-x-1) / (x + 3)?

Odpowiedź:

Domena: # (- oo, -3) uu (-3, oo) #

Zasięg: # (- oo, -2sqrt (11) -7 uu 2sqrt (11) -7, oo) #

Wyjaśnienie:

Domena to wszystkie wartości # y # gdzie # y # jest zdefiniowaną funkcją.

Jeśli mianownik jest równy #0#, funkcja jest zazwyczaj niezdefiniowana. Więc tutaj, gdy:

# x + 3 = 0 #, funkcja jest niezdefiniowana.

Dlatego w # x = -3 #, funkcja jest niezdefiniowana.

Tak więc domena jest określona jako # (- oo, -3) uu (-3, oo) #.

Zakres to wszystkie możliwe wartości # y #. Występuje również, gdy dyskryminator funkcji jest mniejszy niż #0#.

Aby znaleźć dyskryminatora (#Delta#), musimy uczynić równanie równaniem kwadratowym.

# y = (x ^ 2-x-1) / (x + 3) #

#y (x + 3) = x ^ 2-x-1 #

# xy + 3y = x ^ 2-x-1 #

# x ^ 2-x-xy-1-3y = 0 #

# x ^ 2 + (- 1-y) x + (- 1-3y) = 0 #

Jest to równanie kwadratowe, gdzie # a = 1, b = -1-y, c = -1-3y #

Od # Delta = b ^ 2-4ac #możemy wprowadzić:

#Delta = (- 1-y) ^ 2-4 (1) (- 1-3y) #

# Delta = 1 + 2y + y ^ 2 + 4 + 12y #

# Delta = y ^ 2 + 14y + 5 #

Kolejne wyrażenie kwadratowe, ale tutaj, ponieważ #Delta> = 0 #, to nierówność formy:

# y ^ 2 + 14y + 5> = 0 #

Rozwiązujemy dla # y #. Dwie wartości # y # otrzymamy górną i dolną granicę zakresu.

Skoro możemy to uwzględnić # ay ^ 2 + przez + c # tak jak # (y - (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a)) (y - (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a)) #możemy powiedzieć tutaj:

# a = 1, b = 14, c = 5 #. Wprowadzanie:

# (- 14 + -sqrt (14 ^ 2-4 * 1 * 5)) / (2 * 1) #

# (- 14 + -sqrt (196-20)) / 2 #

# (- 14 + -sqrt (176)) / 2 #

# (- 14 + -4sqrt (11)) / 2 #

# + - 2sqrt (11) -7 #

Więc czynniki są # (y- (2sqrt (11) -7)) (y - (- 2sqrt (11) -7))> = 0 #

Więc #y> = 2sqrt (11) -7 # i #y <= - 2sqrt (11) -7 #.

W notacji interwałowej możemy zapisać zakres jako:

# (- oo, -2sqrt (11) -7 uu 2sqrt (11) -7, oo) #