Jak znaleźć całkę intarctan (4x) dx?

Jak znaleźć całkę intarctan (4x) dx?
Anonim

Odpowiedź:

# I = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C #

# = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 8log | (1 + 16x ^ 2) | + C #

Wyjaśnienie:

# (1) I = inttan ^ -1 (4x) dx #

Pozwolić, # tan ^ -1 (4x) = urArr4x = tanurArr4dx = sec ^ 2udu ## rArrdx = 1/4 s ^ 2udu #

# I = intu * 1 / 4sec ^ 2udu = 1 / 4intu * sec ^ 2udu #

Korzystanie z integracji przez części, # I = 1/4 u * intsec ^ 2udu-int (d / (du) (u) * intsec ^ 2udu) du = 1/4 u * tanu-int1 * tanudu ## = 1/4 u * tanu-log | secu | + C ## = 1/4 tan ^ -1 (4x) * (4x) -log | sqrt (1 + tan ^ 2u | + C ## = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C #

Druga metoda:

# (2) I = int1 * tan ^ -1 (4x) dx ## = tan ^ -1 (4x) * x-int (1 / (1 + 16x ^ 2) * 4) xdx #

# = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 8int (32x) / (1 + 16x ^ 2) dx #

# = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 8log | 1 + 16x ^ 2 | + C #