Czy f (x) = e ^ x / x-x ^ 3-3 wklęsłe lub wypukłe przy x = -1?

Odpowiedź:

#Wypukły#

Wyjaśnienie:

Aby sprawdzić, czy funkcja jest wypukła lub wklęsła, musimy ją znaleźć#f '' (x) #

Jeśli #color (brązowy) (f '' (x)> 0) # następnie #color (brązowy) (f (x)) # jest #color (brązowy) (wypukły) #

Jeśli #color (brązowy) (f '' (x) <0) # następnie #color (brązowy) (f (x)) # jest #color (brązowy) (wklęsły) #

najpierw znajdźmy #color (niebieski) (f '(x)) #

#f '(x) = ((e ^ x) / x)' - (x ^ 3) '- (3)' #

#f '(x) = (xe ^ x-e ^ x) / x ^ 2-3x ^ 2-0 #

#color (niebieski) (f '(x) = (xe ^ x-e ^ x) / x ^ 2-3x ^ 2) #

Teraz znajdźmy #color (czerwony) (f '' (x)) #

#f '' (x) = ((xe ^ x-e ^ x) 'x ^ 2- (x ^ 2)' (xe ^ x-e ^ x)) / (x ^ 2) ^ 2-6x #

#f '' (x) = ((e ^ x + xe ^ x-e ^ x) x ^ 2-2x (xe ^ x-e ^ x)) / x ^ 4-6x #

#f '' (x) = (x ^ 3e ^ x-2x ^ 2e ^ x-2xe ^ x) / x ^ 4-6x #

Uprośćmy ułamek według # x #

#color (czerwony) (f '' (x) = (x ^ 2e ^ x-2xe ^ x-2e ^ x) / x ^ 3-6x) #

Teraz obliczmy #color (brązowy) (f '' (- 1) #

#f '' (- 1) = ((- 1) ^ 2e ^ (- 1) -2 (-1) e ^ (- 1) -2e ^ (- 1)) / (- 1) ^ 3-6 (-1) #

#f '' (- 1) = (e ^ (- 1) + 2e ^ (- 1) -2e ^ (- 1)) / (- 1) + 6 #

#color (brązowy) (f '' (- 1) = - e ^ (- 1) +6) #

#color (brązowy) (f '' (- 1)> 0 #

Więc,#f '' (x)> 0 # w # x = -1 #

W związku z tym,#f (x) # jest covex # x = -1 #

wykres {e ^ x / x - x ^ 3 -3 -20, 20, -20, 20}