Jaki jest kąt pomiędzy <-3,9, -7> i <4, -2,8>?

Odpowiedź:

# theta ~ = 2,49 # radianów

Wyjaśnienie:

Uwaga: Anioł między dwoma wektorami niezerowymi u i v, gdzie # 0 <= theta <= pi # jest zdefiniowany jako

#vec u = <u_1, u_2, u_3> #

#vec v = <v_1, v_2, v_3> #

#cos theta = (u * v) / (|| u || "|| v || #

Natomiast: # "" u * v = (u_1v_1) + (u_2v_2) + (u_3v_3) #

# || u || = sqrt ((u_1) ^ 2 + (u_2) ^ 2 + (u_3) ^ 2) #

# || v || = sqrt ((v_1) ^ 2 + (v_2) ^ 2 + (v_3) ^ 2) #

Krok 1: Pozwolić

#vec u = <-3, 9, -7> # i

#vec v = <4, -2, 8> #

Krok 2: Znajdźmy #color (czerwony) (u * v) #

#color (czerwony) (u * v) = (-3) (4) + (9) (- 2) + (-7) (8) #

#= -12 -18 -56#

# = kolor (czerwony) (- 86) #

Krok 3: Pozwól znaleźć #color (niebieski) (|| u ||) #

#vec u = <-3, 9 - 7> #

#color (niebieski) (|| u ||) = sqrt ((- 3) ^ 2 + (9) ^ 2 + (-7) ^ 2) #

# = sqrt (9 + 81 + 49) #

# = kolor (niebieski) (sqrt139) #

Krok 4 Pozwól znaleźć #color (fioletowy) (|| v ||) #

#vec v = <4, -2, 8> #

#color (fioletowy) (|| v ||) = sqrt ((4) ^ 2 + (-2) ^ 2 + (8) ^ 2) #

# = sqrt (16 + 4 + 64) = kolor (fioletowy) (sqrt84) #

Krok 5; Pozwól nam zastąpić go formułą podaną powyżej i znajdź # theta #

#cos theta = (u * v) / (|| u || "|| v ||) #

#cos theta = kolor (czerwony) (- 86) / ((kolor (niebieski) sqrt (139)) kolor (fioletowy) ((sqrt84)) #

#cos theta = kolor (czerwony) (- 86) / (sqrt11676) #

# theta = cos ^ (- 1) (- 86 / (sqrt11676)) #

# theta ~ = 2,49 # radianów

** Uwaga: to dlatego, że #u * v <0 #