Jak ocenić cos (pi / 5) bez użycia kalkulatora?

Odpowiedź:

Bo (#Liczba Pi# / 5) = cos 36 ° = (# sqrt #5 + 1)/4.

Wyjaśnienie:

Jeśli # theta # = #Liczba Pi#/ 10, a następnie 5# theta # = #Liczba Pi#/2 #=># cos3# theta # = sin2# theta #. cos (#Liczba Pi# /2 - #alfa#) = grzech#alfa#}.

#=># 4# cos ^ 3 # # theta # - 3 cos# theta # = 2sin# theta #sałata# theta ##=># 4 # cos ^ 2 ## theta # - 3 = 2 grzechy # theta #.

#=># 4 (1 - # sin ^ 2 # # theta #) - 3 = 2 grzechy# theta #. #=># 4# sin ^ 2 # # theta #+ 2sin# theta # - 1 = 0#=>#

grzech# theta # =(# sqrt # 5 - 1) /4.

Teraz cos 2# theta # = cos #Liczba Pi#/5 = 1 - 2# sin ^ 2 # # theta #, daje wynik.

Odpowiedź:

#Cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

Wyjaśnienie:

Pozwolić #a = cos (pi / 5) #, #b = cos (2 * pi / 5) #. A zatem #cos (4 * pi / 5) = -a #. Z formuł podwójnego kąta:

#b = 2a ^ 2-1 #

# -a = 2b ^ 2-1 #

Odejmowanie, # a + b = 2 (a ^ 2-b ^ 2) = 2 (a + b) (a-b) #

# a + b # nie jest zero, ponieważ oba terminy są dodatnie, więc # a-b # musi być #1/2#. Następnie

# a-1/2 = 2a ^ 2-1 #

# 4a ^ 2-2a-1 = 0 #

a jedynym pozytywnym korzeniem jest

#a = cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

I #b = cos (2 * pi / 5) = a-1/2 = (sqrt (5) -1) / 4 #.