Jaka jest pochodna f (x) = sec ^ -1 (x)?

# d / dx sec ^ -1x = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

Proces:

Po pierwsze, sprawimy, że równanie będzie trochę łatwiejsze do rozwiązania. Weź sekrety obu stron:

#y = sec ^ -1 x #

#sec y = x #

Następnie przepisz w zakresie #sałata#:

# 1 / cos y = x #

I rozwiąż dla # y #:

# 1 = xcosy #

# 1 / x = przytulny #

#y = arccos (1 / x) #

Teraz wygląda to znacznie łatwiej. Wiemy to

# d / dx arccos (alfa) = -1 / (sqrt (1-alfa ^ 2)) #

więc możemy użyć tej tożsamości, a także reguły łańcucha:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Trochę uproszczenia:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * (-1 / x ^ 2) #

Trochę więcej uproszczeń:

# dy / dx = 1 / (x ^ 2sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Aby równanie było trochę ładniejsze, przesunę # x ^ 2 # wewnątrz radykała:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Pewna ostateczna redukcja:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

I jest nasza pochodna.

Przy rozróżnianiu odwrotnych funkcji wyzwalających kluczem jest uzyskanie ich w formie, która jest łatwa do rozwiązania. Bardziej niż cokolwiek, są ćwiczeniem w twojej wiedzy o tożsamościach i manipulacjach algebraicznych.