Jak rozwiązać problem z integracją?

Odpowiedź:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# „Obszar” = 117/4 #

Wyjaśnienie:

Q to punkt przecięcia linii X # 2x + y = 15 #

Aby znaleźć ten punkt, pozwól # y = 0 #

# 2x = 15 #

# x = 15/2 #

Więc # Q = (15 / 2,0) #

P jest punktem przechwytywania między krzywą a linią.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

Pod #(1)# w #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

# x = -5 # lub # x = 3 #

Na wykresie współrzędna x P jest dodatnia, więc możemy odrzucić # x = -5 #

# x = 3 #

# y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

wykres {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17,06, 18,99, -1,69, 16,33}

Teraz na obszar

Aby znaleźć całkowity obszar tego regionu, możemy znaleźć dwa obszary i dodać je razem.

Będą to obszary pod # y = x ^ 2 # od 0 do 3 i obszar pod linią od 3 do 15/2.

# "Obszar pod krzywą" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

Możemy obliczyć obszar linii poprzez integrację, ale łatwiej jest traktować ją jak trójkąt.

# „Obszar pod linią” = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#:. „całkowita powierzchnia zacienionego regionu” = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Odpowiedź:

Na 3 i 4

Tom's done 10

Wyjaśnienie:

3

# int_0 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) dx #

#:. int_1 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) dx #

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Odpowiedź:

Zobacz poniżej:

Ostrzeżenie: Długa odpowiedź!

Wyjaśnienie:

Dla 3):

Korzystanie z właściwości:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

Stąd:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

Dla 4):

(ta sama rzecz)

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# x = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Musimy jednak zamienić ograniczenia na całkę, więc:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Więc:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

Za 10 (a):

Przecinają się dwie funkcje # P #, więc na # P #:

# x ^ 2 = -2x + 15 #

(Przekręciłem funkcję linii do postaci nachylenia-przecięcia)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

Więc # x = 3 # jak my na prawo od # y # oś, więc #x> 0 #.

(wprowadzanie # x = 3 # w dowolne funkcje)

# y = -2x + 15 #

# y = -2 (3) + 15 #

# y = 15-6 = 9 #

Więc współrzędna # P # jest #(3,9)#

Dla # P #, linia # y = -2x + 15 # tnie # y #-axis, więc # y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# x = (15/2) = 7,5 #

Więc # P # znajduje się na #(7.5, 0)#

Dla 10 (b).

Zbuduję dwie całki, aby znaleźć obszar. Rozwiążę całki osobno.

Obszar jest:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(Rozwiąż pierwszą całkę)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(zastąp ograniczenia w zintegrowanym wyrażeniu, pamiętaj:

Górny dolny limit znaleźć wartość całki)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(rozwiązać drugą całkę)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7.5 (-2x + 15) dx = (- 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(limity zastępcze: górny dolny)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #