Jaki jest okres półtrwania (Na ^ 24), jeśli asystent badawczy wyprodukował 160 mg radioaktywnego sodu (Na ^ 24) i stwierdził, że 45 godzin później pozostało tylko 20 mg?

Odpowiedź:

#color (niebieski) („Okres półtrwania wynosi 15 godzin.”) #

Wyjaśnienie:

Musimy znaleźć równanie formularza:

#A (t) = A (0) e ^ (kt) #

Gdzie:

#bb (A (t)) = # kwota po czasie t.

#bb (A (0) = # kwota na początku. tj. t = 0.

# bbk = # czynnik wzrostu / zaniku.

# bbe = # Numer Eulera.

# bbt = # czas, w tym przypadku godziny.

Otrzymujemy:

#A (0) = 160 #

#A (45) = 20 #

Musimy rozwiązać dla # bbk #:

# 20 = 160e ^ (45k) #

Podziel przez 160:

# 1/8 = e ^ (45 k) #

Biorąc logarytmy naturalne obu stron:

#ln (1/8) = 45kln (e) #

#ln (e) = 1 #

Stąd:

#ln (1/8) = 45 tys.

Dzielenie przez 45:

#ln (1/8) / 45 = k #

#:.#

#A (t) = 160e ^ (t (ln (1/8) / 45)) #

#A (t) = 160e ^ (t / 45 (ln (1/8)) #

#A (t) = 160 (1/8) ^ (t / 45) #

Ponieważ z definicji okres półtrwania jest okresem, w którym mamy połowę kwoty wyjściowej:

#A (t) = 80 #

Więc musimy rozwiązać t w:

# 80 = 160 * (1/8) ^ (t / 45) #

# 80/160 = (1/8) ^ (t / 45) #

# 1/2 = (1/8) ^ (t / 45) #

Biorąc logarytmy naturalne:

#ln (1/2) = t / 45ln (1/8) #

# 45 * (ln (1/2)) / (ln (1/8)) = t = 15 #

Okres półtrwania wynosi 15 godzin.

Odpowiedź:

15 godzin

Wyjaśnienie:

• Szybki sposób

Ponieważ ilość rozkładającej się substancji zmniejsza się o połowę każdy półtrwania (stąd nazwa), zmniejszenie o połowę kwoty w krokach wymaga 3 kroków, aby uzyskać od 160 do 20:

• # 160 do 80 do 40 do 20 #

I #45 = 3 * 15#

Okres półtrwania wynosi 15 lat.

• Bardziej formalny sposób

Na półtrwanie # tau #, gdzie # X (t) # to ilość (masa / liczba cząstek / itd.) pozostająca w czasie t:

#X (t) = X_o (1/2) ^ (t / tau) qquad kwadrat #

Więc:

#X (0) = X_o, X (tau) = X_o / 2, X (2tau) = X_o / 4, … #

Podłączanie podanych wartości #plac#:

# 20 = 160 * (1/2) ^ (45 / tau) #

#implies (1/2) ^ (45 / tau) = 1/8 qquad qquad = (1/2) ^ 3 #

#implies 45 / tau = 3 oznacza tau = 15 #