Dwa rogi trójkąta równoramiennego znajdują się na (7, 5) i (3, 6). Jeśli pole trójkąta wynosi 6, jakie są długości boków trójkąta?

Odpowiedź:

Jest na to kilka sposobów; droga z najmniejszą liczbą kroków została wyjaśniona poniżej.

Pytanie jest niejednoznaczne, które dwie strony mają tę samą długość. W tym wyjaśnieniu założymy, że dwie strony o równej długości są tymi, które dopiero zostaną znalezione.

Wyjaśnienie:

Długość jednej strony możemy obliczyć tylko na podstawie podanych współrzędnych.

# a = sqrt ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) #

# a = sqrt (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) #

# a = sqrt (16 + 1) #

# a = sqrt17 #

Następnie możemy użyć formuły dla obszaru trójkąta pod względem długości boków, aby dowiedzieć się #b# i #do#.

# A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

gdzie # s = (a + b + c) / 2 # (zwany semiperimeter)

Od # a = sqrt (17) # jest znany i zakładamy # b = c #, mamy

# s = (sqrt17 + b + b) / 2 #

#color (czerwony) (s = sqrt17 / 2 + b) #

Zastępując to w powyższej formule obszaru, jak również # A = 6 # i # a = sqrt17 #, dostajemy

# 6 = sqrt ((kolor (czerwony) (sqrt (17) / 2 + b)) (kolor (czerwony) (sqrt (17) / 2 + b) -sqrt17) (kolor (czerwony) (sqrt (17) / 2 + b) -b) (kolor (czerwony) (sqrt (17) / 2 + b) -b)) #

# 6 = sqrt ((sqrt (17) / 2 + b) (- sqrt (17) / 2 + b) (sqrt (17) / 2) (sqrt (17) / 2)) #

# 6 = (sqrt (17) / 2) sqrt ((b + sqrt (17) / 2) (b-sqrt (17) / 2)) #

# 12 / sqrt17 = sqrt (b ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2) #

# 144/17 = b ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4 = b ^ 2 #

# 576/68 + 289/68 = b ^ 2 #

# 865/68 = b ^ 2 #

# b = sqrt (865/68) = c #

Nasze rozwiązanie to # a = sqrt (17), b = c = sqrt (865/68) #.

Przypis 1:

Możliwe jest posiadanie trójkąta o dwóch bokach długości #sqrt (17) # i obszar # A = 6 # (to znaczy mieć # a = b = sqrt (17) # zamiast # b = c #). Doprowadzi to do innego rozwiązania.

Przypis 2:

Moglibyśmy również rozwiązać to pytanie, znajdując współrzędne trzeciego punktu. Wymagałoby to:

a) znalezienie długości znanej strony #za#

b) znalezienie nachylenia # m # między dwoma podanymi punktami

c) znalezienie punktu środkowego # (x_1, y_1) # między dwoma podanymi punktami

d) znalezienie „wysokości” # h # tego trójkąta za pomocą # A = 1/2 ah #

e) znalezienie nachylenia wysokości za pomocą #m_h = (- 1) / m #

f) przy użyciu formuły z nachyleniem # m_h = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # i wzór wysokości # h = sqrt ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) # rozwiązać jedną ze współrzędnych trzeciego punktu # (x_2, y_2) #

g) po połączeniu tych dwóch równań, uproszczenie wydajności

# x_2 = h / (sqrt (m_h ^ 2 + 1)) + x_1 #

h) podłączanie znanych wartości dla # h #, # m_h #, i # x_1 # zdobyć # x_2 #

i) użycie jednego z dwóch równań w (f) do znalezienia # y_2 #

j) użycie wzoru odległości do znalezienia pozostałych (identycznych) długości boków

# b = c = sqrt ((x_2-3) ^ 2 + (y_2-6) ^ 2) = sqrt ((x_2-7) ^ 2 + (y_2-5) ^ 2) #

Możesz zobaczyć, dlaczego pierwsza metoda jest łatwiejsza.