Dwie liczby mają różnicę 20. Jak znaleźć liczby, jeśli suma ich kwadratów jest minimalna?

Odpowiedź:

#-10,10#

Wyjaśnienie:

Dwie liczby # n, m # takie # n-m = 20 #

Suma ich kwadratów jest podana przez

# S = n ^ 2 + m ^ 2 # ale #m = n-20 # więc

# S = n ^ 2 + (n-20) ^ 2 = 2n ^ 2-40n + 400 #

Jak możemy zobaczyć, #S (n) # to parabola z minimum na

# d / (dn) S (n_0) = 4n_0-40 = 0 # lub na # n_0 = 10 #

Liczby są

# n = 10, m = n-20 = -10 #

Odpowiedź:

10 i -10

Rozwiązany bez rachunku.

Wyjaśnienie:

W odpowiedzi Cesareo # d / (dn) S (n_0) # to rachunek. Zobaczmy, czy możemy rozwiązać ten problem bez rachunku różniczkowego.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (magenta) („Niech pierwszy numer będzie„ x) #

Niech druga liczba będzie # x + 20 #

Zestaw # "" y = x ^ 2 + (x + 20) ^ 2 #

# y = x ^ 2 + x ^ 2 + 40x + 400 #

# y = 2x ^ 2 + 40x + 400 larr „” y ”to suma ich kwadratów” #

#color (czerwony) („Więc musimy znaleźć wartość x, która daje minimalną wartość”) # #color (czerwony) ("z" y) #

To równanie jest kwadratowe i jako # x ^ 2 # termin jest pozytywny, to jego ogólny kształt ma formę # uu #. Zatem wierzchołek jest wartością minimalną dla # y #

Napisz jako # y = 2 (x ^ 2 + 20x) + 400 #

To, co następuje, jest częścią procesu wypełniania placu.

Rozważmy 20 z # 20x #

#color (magenta) („Wtedy pierwsza liczba to:„ x _ („wierzchołek”) = (- 1/2) xx20 = -10) #

Tak więc pierwsza liczba to # x = -10 #

Druga liczba to # "" x + 20 = -10 + 20 = 10 #

# "" kolor (zielony) (pasek (ul (| kolor (biały) (2/2) "Dwie liczby to: -10 i 10" |))) #