Zakres e ^ x / ([x] +1), x> 0 i gdzie [x] oznacza największą liczbę całkowitą?

Odpowiedź:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Wyjaśnienie:

Zakładam # x # jest najmniejszą liczbą całkowitą większą niż # x #. W poniższej odpowiedzi użyjemy notacji #ceil (x) #, zwana funkcją sufitu.

Pozwolić #f (x) = e ^ x / (sufit (x) +1) #. Od # x # jest ściśle większy niż #0#oznacza to, że domena #fa# jest # (0, + oo) #.

Tak jak #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # i od tego czasu # e ^ x # jest zawsze pozytywne #fa# jest zawsze ściśle większy niż #0# w swojej domenie. To ważne by zauważyć że #fa# jest nie wstrzykiwany i nie jest ciągły w liczbach naturalnych. Aby to udowodnić, niech # n # być liczbą naturalną:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Bo #x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

Podobnie, #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Ponieważ limity po lewej i po prawej stronie nie są równe, #fa# nie jest ciągły w liczbach całkowitych. Również, #L> R # dla wszystkich #n w NN #.

Tak jak #fa# zwiększa się w odstępach ograniczonych dodatnimi liczbami całkowitymi, „najmniejsze wartości” na interwał będą takie jak # x # zbliża się do dolnej granicy z prawej strony.

Stąd minimalna wartość #fa# będzie

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (sufit (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

To jest dolna granica zakresu #fa#.

Chociaż nie jest do końca prawdą to powiedzieć #fa# rośnie, jest w tym sensie, asymptotycznie, zbliża się do nieskończoności - jak udowodniono poniżej:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (sufit (x) +1) #

Tak jak #ceilx> = x #, istnieje #delta <1 # takie # ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

Pozwolić #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# e ^ u # wzrasta wykładniczo # u # robi to liniowo, co oznacza

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Dlatego zasięg #fa# jest

# „Zakres” = (1/2, oo) #

Interwał jest otwarty po lewej stronie, ponieważ #http: // 2 # jest wciąż #f (0) #, i jako # x # awanse #0^+#, #f (x) # tylko zbliża się #http: // 2 #; nigdy tak naprawdę nie jest równy.