Jak napisać dekompozycję częściowej frakcji wyrażenia wymiernego (3x) / (x ^ 3 - 2x ^ 2 - x + 2)?

Odpowiedź:

# (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #

Wyjaśnienie:

Aby zapisać dane wyrażenie w ułamkach cząstkowych, rozważmy faktoryzowanie mianownika.

Rozważmy mianownik

#color (niebieski) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = kolor (niebieski) (x ^ 2 (x-2) - (x-2)) #

# = kolor (niebieski) ((x-2) (x ^ 2-1)) #

Zastosowanie tożsamości wielomianów:

#color (pomarańczowy) (a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b)) #

mamy:

#color (niebieski) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = kolor (niebieski) ((x-2) (x ^ 2-1 ^ 2)) #

# = kolor (niebieski) ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

Rozłóżmy racjonalne wyrażenie, znajdując # A, B i C #

#color (brązowy) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) = kolor (zielony) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x +2)) #

#color (brązowy) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) #

# = kolor (brązowy) ((A (x-1) (x + 1)) / (x-2) + (B (x-2) (x + 1)) / (x-1) + (C (x-2) (x-1)) / (x + 1)) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2 + x-2x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2-x-2x +2)) / (x + 1) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2-x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2-3x + 2)) / (x + 1) #

# = (Ax ^ 2-A + Bx ^ 2-Bx-2B + Cx ^ 2-3Cx + 2C) / ((x-2) (x-1) (x + 1) #

# = kolor (brązowy) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

# = kolor (brązowy) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x + 1)) = kolor (zielony) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) #

Następnie, #rArrcolor (brązowy) ((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) = kolor (zielony) (3x) #

Mamy system trzech równań z trzema niewiadomymi # A, B i C #

# A + B + C = 0 # eq1

# -B-3C = 3 # eq2

# -A-2B + 2C = 0 # eq3

Rozpoczęcie rozwiązywania systemu

eq2:# -B-3C = 3rArr-B = 3 + 3CrArrcolor (czerwony) (B = -3-3C) #

Zastępowanie #B# w eq1 mamy:

# A + B + C = 0 #

# A-3-3C + C = 0rArrA-3-2C = 0rArrcolor (czerwony) (A = 3 + 2C) #

Zastępowanie #B i C #w eq3 mamy:

# -A-2B + 2C = 0 # eq3

# rArr- (kolor (czerwony) (3 + 2C)) - 2 (kolor (czerwony) (- 3-3C)) + 2C = 0 #

# rArr-3-2C + 6 + 6C + 2C = 0 #

# rArr + 3 + 6C = 0 #

# rArr6C = -3 #

#rArrcolor (czerwony) (C = -1 / 2) #

#color (czerwony) (B = -3-3C) = - 3-3color (czerwony) (- 1/2) = - 3 + 3/2 #

#color (czerwony) (B = -3 / 2 #

#color (czerwony) (A = 3 + 2C) = 3 + 2 (-1/2) = 3-1 #

#color (czerwony) (A = 2) #

Zastąpmy wartości:

#color (zielony) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) = kolor (brązowy) (kolor (czerwony) 2 / (x-2) + (kolor (czerwony) (- 3 / 2)) / (x-1) + kolor (czerwony) ((- 1/2)) / (x + 1)) #

W związku z tym, # (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #