Odpowiedź:
To dokładnie jedno z korzeni #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # gdzie #T_n (x) # jest # n #th wielomian Czebyszewa pierwszego rodzaju. To jedna z czterdziestu sześciu korzeni:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 30 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Wyjaśnienie:
# 58 ^ circ # nie jest wielokrotnością # 3 ^ circ #. Wielokrotności # 1 ^ circ # które nie są wielokrotnościami # 3 ^ circ # nie są możliwe do skonstruowania za pomocą prostokąta i kompasu, a ich funkcje wyzwalania nie są wynikiem pewnej kompozycji liczb całkowitych z użyciem dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i ukorzeniania.
To nie znaczy, że nie możemy zapisać jakiegoś wyrażenia dla #cos 58 ^ circ #. Weźmy znak stopnia, aby oznaczyć czynnik # {2pi} / 360 #.
# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i sin 58 ^ circ #
#e ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - i sin 58 ^ circ #
# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #
#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #
Nie tak pomocne.
Możemy spróbować zapisać równanie wielomianowe, którego jednym z korzeni jest #cos 58 ^ circ # ale prawdopodobnie będzie zbyt duży, aby zmieścić.
# theta = 2 ^ circ # jest #180#th koła. Od #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # to znaczy #cos 2 ^ circ # spełnia
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
#cos (180 ^ circ -44 theta) = cos (46 theta) #
Rozwiążmy to za # theta # pierwszy. #cos x = cos a # ma korzenie # x = pm a + 360 ^ circ k, # liczba całkowita # k #.
# 180 ^ circ -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ circ k #
# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #
#theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ k lub theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #
To dużo korzeni i widzimy # theta = 58 ^ circ # pomiędzy nimi.
Wielomiany #T_n (x) #, zwane wielomianami Czebyszewa pierwszego rodzaju, spełniają #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. Mają współczynniki całkowite. Znamy kilka pierwszych z formuł podwójnego i potrójnego kąta:
#cos (0 theta) = 1 quad quad # więc# quad quad T_0 (x) = 1 #
#cos (1 theta) = cos theta quad quad # więc# quad quad T_1 (x) = x #
#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # więc # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #
#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos theta quad quad # więc # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #
Istnieje ładna relacja rekursji, którą możemy zweryfikować:
# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #
Więc teoretycznie możemy generować je tak duże # n # tak jak nam zależy.
Jeśli pozwolimy # x = cos theta, # nasze równanie
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
staje się
#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #
Wolfram Alpha z radością mówi nam, co to jest. Napiszę równanie, aby przetestować renderowanie matematyczne:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 30 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Tak, ta odpowiedź jest długa, dzięki Sokratejczykom. W każdym razie jeden z korzeni tego wielomianu 46-tego stopnia o współczynnikach całkowitych wynosi # 58 ^ circ #.
