Znajdowanie (i) tanAtanB, (ii) tan (A + B), (iii) sin ((A + B) / 2) przy użyciu formuł dodawania?

Odpowiedź:

Te mają rację, chyba że (ii) jest odwrócone. #tan (A + B) # powinno być #4/3# tak jak #sin (A + B) = 4/5 # i #cos (A + B) = 3/5 #.

Wyjaśnienie:

Zabawa. Dany #cos (A + B) = 3/5 quad i quad cos A cos B = 7/10 #

Przejrzyjmy odpowiednie tożsamości.

# cos (A + B) = cos A cos B - grzech A grzech B #

#sin A sin B = cos A cos B -cos (A + B) = 7/10 - 3/5 = 1/10 #

# tanA tan B = {sin A sin B} / {cos A cos B} = {1/10} / {7/10} = 1/7 quad # wybór (i)

# cos ^ 2 (A + B) + sin ^ 2 (A + B) = 1 #

#sin (A + B) = pm sqrt {1- (3/5) ^ 2} = pm 4/5 #

#ZA# i #B# są ostre, # A + B <180 ^ circ # więc pozytywny sinus:

#sin (A + B) = 4/5 #

#tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B) = {4/5} / {3/5} = 4/3 quad # ŻADNE Z POWYŻSZYCH

Jedna formuła z podwójnym kątem #cos (2x) = 1-2 sin ^ 2 x # więc

#sin ((A + B) / 2) = pm sqrt {1/2 (1 - cos (A + B))} #

Średnia z #ZA# i #B# jest ostry, więc wybieramy znak pozytywny.

#sin ((A + B) / 2) = + srt {1/2 (1 - 3/5)) = 1 / srt {5} quad # wybór (iii)

Jeden z trzech błędnych, B-.

Odpowiedź:

Prosimy odnieść się do Sekcja wyjaśniająca.

Wyjaśnienie:

Jeśli się uwzględni #cos (A + B) = 3/5 #.

#:. cosAcosB-sinAsinB = 3/5 #.

#:. 7/10-sinAsinB = 3/5 #.

#:. sinAsinB = 7 / 10-3 / 5 = 1/10 #.

#:. (sinAsinB) / (cosAcosB) = (1/10) / (7/10) #.

Stąd, # tanAtanB = 1/7 ………….. "Odp." (i) #.

Jeśli się uwzględni, # 0 lt A lt pi / 2, 0 lt B lt pi / 2 #.

Dodawanie, # 0 lt (A + B) lt pi #.

#:. (A + B) w Q_1uuQ_2 #.

Ale, #cos (A + B) = 3/5 gt 0 #.

#:. (A + B) w Q_1 #.

Teraz, # sin ^ 2 (A + B) = 1-cos ^ 2 (A + B) = 1- (3/5) ^ 2 = 16/25 #.

#:. sin (A + B) = + - 4/5; „ale, ponieważ” (A + B) w Q_1, #

# sin (A + B) = + 4/5 #.

#:. tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B) = (4/5) / (3/5) = 4/3 … "Odp." (ii) #.

Wreszcie, aby znaleźć #sin ((A + B) / 2), „let” (A + B) /2=theta.#

#:. cos (A + B) = cos2theta = 3/5 #.

# „Teraz”, cos2theta = 3/5 rArr cos (theta + theta) = 3/5 #.

#:. costhetacostheta-sinthetasintheta = 3/5 … ponieważ, „Formuła dodatkowa” #

#:. cos ^ 2theta-sin ^ 2theta = 3/5, czyli #

# (1-sin ^ 2theta) -sin ^ 2theta = 3/5 lub, #

# 1-2sin ^ 2theta = 3/5 rArr sin ^ 2theta = 1/2 (1-3 / 5) = 1/5 #.

#:. sintheta = + - 1 / sqrt5 #

Od, # (A + B) = 2theta # kłamstwa w # Q_1, „tak robi” theta = (A + B) / 2 #.

#:. sintheta = sin ((A + B) / 2) = + 1 / sqrt5 = + sqrt5 / 5 …… "Ans." (iii) #.