Największą stroną trójkąta prostokątnego jest ^ 2 + b ^ 2, a druga strona to 2ab. Jaki stan sprawi, że trzecia strona będzie najmniejszą stroną?

Odpowiedź:

Aby trzecia strona była najkrótsza, wymagamy # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb # (i to #za# i #b# mają ten sam znak).

Wyjaśnienie:

Najdłuższy bok trójkąta prawego to zawsze przeciwprostokątna. Wiemy więc, że długość przeciwprostokątnej wynosi # a ^ 2 + b ^ 2. #

Niech nieznana długość boku będzie #do.# Następnie z twierdzenia Pitagorasa wiemy

# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #

lub

# c = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #

#color (biały) c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #

#color (biały) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #

#color (biały) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #

#color (biały) c = a ^ 2-b ^ 2 #

Wymagamy również, aby wszystkie długości boków były dodatnie, więc

• # a ^ 2 + b ^ 2> 0 #

  # => a! = 0 lub b! = 0 #

• # 2ab> 0 #

  # => a, b> 0 lub a, b <0 #

• # c = a ^ 2-b ^ 2> 0 #

  # <=> a ^ 2> b ^ 2 #

  # <=> absa> absb #

Teraz, na każdy trójkąt, najdłuższy bok musi być krótszy niż suma z dwóch pozostałych stron. Więc mamy:

#color (biały) (=>) 2ab + "" c kolor (biały) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab kolor (biały) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #

# => {(a> b "," jeśli b> 0), (a <b "," jeśli b <0):} #

Ponadto, aby trzecia strona była najmniejsza, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #

lub # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # lub # a-b <sqrt2b # lub #a <b (1 + sqrt2) #

Łącząc wszystkie te ograniczenia, możemy wywnioskować, że aby trzecia strona była najkrótsza, musimy ją mieć # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb i (a, b <0 lub a, b> 0).