Tan3x = 3Tanx-Tan ^ 3x przez 1-3tan ^ 2x Udowodnij to?

Odpowiedź:

Prosimy przejść przez Dowód w Wyjaśnienie.

Wyjaśnienie:

Mamy, #tan (x + y) = (tanx + tany) / (1-tanxtany) ………… (diament) #.

Wypuszczanie # x = y = A #, dostajemy, #tan (A + A) = (tanA + tanA) / (1-tanA * tanA) #.

#:. tan2A = (2tanA) / (1-tan ^ 2A) ………… (diament_1) #.

Teraz bierzemy się # (diament), x = 2A, i, y = A #.

#:. tan (2A + A) = (tan2A + tanA) / (1-tan2A * tanA) #.

#:. tan3A = {(2tanA) / (1-tan ^ 2A) + tanA} / {1- (2tanA) / (1-tan ^ 2A) * tanA} #, # = {(2tanA + tanA (1-tan ^ 2A)) / (1-tan ^ 2A)} -: {1- (2tan ^ 2A) / (1-tan ^ 2A)} #, # = (2tanA + tanA-tan ^ 3A) / (1-tan ^ 2A-2tan ^ 2A) #.

# rArr tan3A = (3tanA-tan ^ 3A) / (1-3tan ^ 2A) #, zgodnie z życzeniem!

Zróbmy to z pierwszych zasad De Moivre:

#cos 3 x + i grzech 3x = (cos x + i sin x) ^ 3 #

Używając #1,3,3,1# rząd trójkąta Pascala, #cos 3 x + ja grzech 3x #

# = cos ^ 3 x + 3 cos ^ 2 x (i sin x) + 3 cos x (i ^ 2 sin ^ 2 x) + i ^ 3 sin ^ 3 x #

# = (cos ^ 3 x- 3 cos x sin ^ 2 x) + i (3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x) #

Zrównując odpowiednie części rzeczywiste i urojone, # cos 3 x = cos ^ 3 x- 3 cos x sin ^ 2 x #

# sin 3x = 3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x #

Są to (dość niejasna forma) formuły potrójnego kąta i zazwyczaj zapisujemy te lub bardziej standardowy formularz i zaczynamy od tego.

# 3x = frac {sin 3x} {cos 3x} = frac {3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x} {cos ^ 3 x- 3 cos x sin ^ 2 x} cdot frac {1 / cos ^ 3 x} {1 / cos ^ 3 x} #

#tan 3x = frak {3 tan x - tan ^ 3 x} {1 - 3 tan ^ 2 x} kwadrat kwadratowy #

Udowodnij przez indukcję, że f (n) = 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) jest podzielne przez 5 dla n w ZZ ^ +?

Zobacz poniżej. Zauważ, że dla m nieparzystego mamy (a ^ m + b ^ m) / (a + b) = a ^ (m-1) -a ^ (m-2) b + a ^ (m-3) b ^ 2 + cdots -ab ^ (m-2) + b ^ (m-1), który pokazuje afirmację. Teraz przez skończoną indukcję. Dla n = 1 2 + 3 = 5, który jest podzielny. przypuśćmy teraz, że 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) jest podzielne, mamy 2 ^ (2 (n + 1) -1) + 3 ^ (2 (n + 1) -1) = 2 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 3 ^ 2 = = 2 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 5 xx 3 ^ (2n- 1) = = 2 ^ 2 (2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1)) + 5 xx 3 ^ (2n-1), który jest podzielny przez 5, więc to prawda.

Udowodnij, że dana linia i punkt nie znajdują się w tej linii, a dokładnie jedna linia przechodzi przez ten punkt prostopadle przez tę linię? Możesz to zrobić matematycznie lub poprzez budowę (robili to starożytni Grecy)?

Zobacz poniżej. Załóżmy, że podana linia to AB, a punkt P, który nie znajduje się na AB. Teraz załóżmy, że narysowaliśmy prostopadłą PO na AB. Musimy to udowodnić, że ta PO jest jedyną linią przechodzącą przez P, która jest prostopadła do AB. Teraz użyjemy konstrukcji. Zbudujmy kolejny prostopadły PC na AB z punktu P. Teraz Dowód. Mamy OP prostopadły AB [nie mogę użyć znaku prostopadłego, jak to się dzieje] I także PC prostopadły AB. Więc OP || PC. [Oba są prostopadłe w tej samej linii.] Teraz Zarówno OP, jak i PC mają wspólny punkt P i są równoległe. Oznacza to, że powinny się pokry

Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele odrębnych par (a, b) liczb całkowitych pierwszorzędnych a> 1 i b> 1 takich, że ^ b + b ^ a jest podzielne przez a + b?

Zobacz poniżej. Dokonując a = 2k + 1 i b = 2k + 3 mamy to a ^ b + b ^ a równe 0 mod (a + b) i dla k w NN ^ + mamy, że aib są współ-liczbami pierwszymi. Dokonywanie k + 1 = n mamy (2n-1) ^ (2n + 1) + (2n + 1) ^ (2n-1) równe 0 mod 4, co można łatwo pokazać. Można również łatwo wykazać, że (2n-1) ^ (2n + 1) + (2n + 1) ^ (2n-1) equiv 0 mod n so (2n-1) ^ (2n + 1) + (2n + 1) ) ^ (2n-1) equiv 0 mod 4n i tym samym pokazano, że dla a = 2k + 1 i b = 2k + 3 a ^ b + b ^ a equiv 0 mod (a + b) ze współrzędnymi aib . Wniosek jest taki, że istnieje nieskończenie wiele odrębnych par (a, b) liczb pierwszych liczb ca