Dlaczego ważne są permutacje?

Odpowiedź:

Zobacz poniżej kilka myśli:

Wyjaśnienie:

Porozmawiajmy najpierw o tym, czym jest permutacja. Aby to zrobić, najpierw opowiem o silniach.

Kiedy zamawiamy kilka rzeczy i porządek jest ważny (na przykład liczba sposobów zamawiania książek w 10-tomowym zestawie encyklopedii), widzimy, że są one #10!# sposoby układania książek - pierwszą książką na półce może być każda z 10 książek, drugą na półce może być dowolna z 9 pozostałych, trzecia na półce może być dowolną z 8 pozostałych, i tak dalej, dając:

# 10xx9xx8xx7xx6xx5xx4xx3xx2xx1 = 10! = 3,628,800 #

To działa świetnie, jeśli chcemy zorganizować wszystko, co masz pod ręką. Ale co, jeśli chcemy uporządkować rzeczy, ale nie wszystkie rzeczy? Powiedzmy, że mamy 10 figur akcji, ale mamy tylko półkę na półce na 6 z nich. Ile różnych sposobów możemy wyświetlić dane?

Moglibyśmy to obliczyć, mówiąc, że jest 10 postaci, które moglibyśmy umieścić na jednej pozycji na półce, a następnie 9 na pozycji drugiej, 8 na pozycji trzeciej, i tak dalej, dając:

# 10xx9xx8xx7xx6xx5xx4 = "dużo uderzeń w klawisz czasu na kalkulatorze" #

Możemy ograniczyć tę pracę, widząc, że nasz łańcuch mnożenia jest taki sam jak:

# ((10xx9xx8xx7xx6xx5) (4xx3xx2xx1)) / (4xx3xx2xx1) = (10!) / (4!) #

które możemy przepisać:

#(10!)/(4!)=(10!)/((10-6)!)#

a teraz mamy wszystko pod względem tego, co wiedzieliśmy (wybierając 6 rzeczy z 10-osobowej populacji) i to jest właśnie permutacja:

#P_ (n, k) = (n!) / ((N-k)!); n = „populacja”, k = „wybiera” #

Silnia to ustalona liczba - wiemy o tym #10! = 3,628,800# i #4! = 24#, więc możemy znaleźć tę ostateczną odpowiedź, mówiąc:

#(10!)/(4!)=(10!)/((10-6)!)=3628800/24=151,200#

Zorientowaliśmy się, że permutacje są świetne do oszczędzania dużej ilości pracy przy obliczaniu liczby sposobów, w jakie można uporządkować rzeczy, gdy kolejność układów jest ważna. Ile pracy? Rozważmy to pytanie:

„Lot samolotem jest wyprzedany. Jest 300 osób, które mają bilety na samolot, który ma 250 miejsc. Ile różnych sposobów możemy zorganizować ludzi w samolocie?”

Odpowiedź to #P_ (300,250) = (300!) / (50!) #

(przybliżona odpowiedź numeryczna to # 9.5xx10 ^ 121 #)