Czym jest pochodna f (x) = (log_6 (x)) ^ 2?

Metoda 1:

Zaczniemy od zastosowania reguły zmiany podstawy do przepisania #f (x) # równoważnie jak:

#f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 #

Wiemy to # d / dx ln x = 1 / x #.

(jeśli ta tożsamość wygląda na nieznaną, sprawdź niektóre filmy wideo na tej stronie, aby uzyskać dalsze wyjaśnienia)

Więc zastosujemy regułę łańcucha:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx ln x / ln 6 #

Pochodna #ln x / 6 # będzie # 1 / (xln6) #:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) #

Uproszczenie daje nam:

#f '(x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) #

Metoda 2:

Pierwszą rzeczą do odnotowania jest to tylko # d / dx ln (x) = 1 / x # gdzie #ln = log_e #. Innymi słowy, tylko jeśli baza jest #mi#.

Musimy zatem przekonwertować # log_6 # do wyrażenia mającego tylko #log_e = ln #. Używamy tego faktu

#log_a b = (log_ {n} b) / (log_ {n} a) = (ln b) / ln a # gdy # n = e #

Teraz pozwól #z = (ln x / ln 6) # po to aby #f (x) = z ^ 2 #

W związku z tym, #f '(x) = d / dx z ^ 2 = (d / dz z ^ 2) (dz / dx) = 2z d / dx (ln x / ln 6) #

# = (2z) / (ln 6) d / dx ln x = (2z) / (ln 6) 1 / x #

# = (2 / ln 6) (ln x / ln 6) (1 / x) = (2 ln x) / (x * (ln 6) ^ 2) #