Odróżnij od pierwszej zasady x ^ 2sin (x)?

Odpowiedź:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # z definicji pochodnej i pewnych ograniczeń.

Wyjaśnienie:

Pozwolić #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. Następnie

# (df) / dx = lim_ {h do 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h do 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h do 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h do 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h do 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h do 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h do 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

przez tożsamość trygonometryczną i pewne uproszczenia. Na tych czterech ostatnich liniach mamy cztery terminy.

Pierwszy termin równa się 0, ponieważ

#lim_ {h do 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h do 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, które można zobaczyć np. z rozszerzenia Taylora lub reguły L'Hospital.

The Czwarta kadencja także znika, ponieważ

#lim_ {h do 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h do 0} h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

Teraz drugi termin upraszcza

# lim_ {h do 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h do 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, od

#lim_ {h do 0} (sin (h)) / h = 1 #, jak pokazano tutaj, lub np. Reguła L'Hospital (patrz poniżej).

The trzeci semestr upraszcza

# lim_ {h do 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h do 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

które po dodanie do drugiego terminu daje to

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Uwaga: Według reguły L'Hospital, ponieważ # lim_ {h do 0} sin (h) = 0 # i # lim_ {h do 0} h = 0 # i obie funkcje są zróżnicowane wokół # h = 0 #, mamy to

# lim_ {h do 0} sin (h) / h = lim_ {h do 0} ((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { h do 0} cos (h) = 1 #.

Limit # lim_ {h do 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # można wyświetlić podobnie.