Jak obliczyć tę sumę? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Wobec #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

ale # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # i

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # następnie

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Odpowiedź:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # gdy # | x | <1 #

Wyjaśnienie:

Zaczynamy od wypisania niektórych współczynników:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

Pierwszą rzeczą, na którą chcemy spojrzeć, są współczynniki (stopień # x # można dość łatwo dostosować, mnożąc i dzieląc serię przez # x #, więc nie są tak ważne). Widzimy, że wszystkie są wielokrotnościami dwóch, więc możemy wydobyć współczynnik dwa:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

Współczynniki wewnątrz tego nawiasu można rozpoznać jako serię dwumianową z mocą # alpha = -3 #:

# (1 + x) ^ alfa = 1 + alphax + (alfa (alfa-1)) / (2!) X ^ 2 + (alfa (alfa-1) (alfa-2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Zauważamy, że wykładniki wszystkich terminów w nawiasie są większe o dwa w porównaniu z serią, którą właśnie wyprowadziliśmy, więc musimy pomnożyć # x ^ 2 # aby uzyskać właściwą serię:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

Oznacza to, że nasza seria jest (kiedy się zbiega) równa:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Aby sprawdzić, czy nie popełniliśmy błędu, możemy szybko wykorzystać serię dwumianową do obliczenia serii # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2!) X ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2- (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

Możemy opisać ten wzór w następujący sposób:

# = 2x ^ 2 suma_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

Od pierwszego semestru jest po prostu #0#, możemy pisać:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

która jest serią, od której zaczęliśmy weryfikować nasz wynik.

Teraz musimy tylko znaleźć przedział zbieżności, aby zobaczyć, kiedy seria rzeczywiście ma wartość. Możemy to zrobić, patrząc na warunki konwergencji dla serii dwumianowej i stwierdzić, że seria zbiega się, gdy # | x | <1 #