Odpowiedź:
Patrz poniżej.
Wyjaśnienie:
(ja) Tak jak my # a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, co oznacza sumę kwadratów obu stron #za# i #b# jest równy kwadratowi po trzeciej stronie #do#. Stąd, #/_DO# Przeciwna strona #do# będzie kąt prosty.
Załóżmy, że tak nie jest, a następnie narysuj prostopadle od #ZA# do #PNE#, niech tak będzie #DO'#. Teraz zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, # a ^ 2 + b ^ 2 = (AC ') ^ 2 #. Stąd, # AC '= c = AC #. Ale to nie jest możliwe. Stąd, # / _ ACB # jest kątem prostym i #Delta ABC # to trójkąt prostokątny.
Przypomnijmy sobie wzór kosinusowy dla trójkątów, który to stwierdza # c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2abcosC #.
(ii) Jak zasięg #/_DO# jest # 0 ^ @ <C <180 ^ @ #, Jeśli #/_DO# jest tępy # cosC # jest ujemny i stąd # c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab | cosC | #. Stąd, # a ^ 2 + b ^ 2 <c ^ 2 # znaczy #/_DO# jest tępy.
Użyjmy twierdzenia Pitagorasa, aby to sprawdzić i narysować # DeltaABC # z # / _ C> 90 ^ @ # i narysuj # AO # prostopadle na przedłużeniu #PNE# jak pokazano. Teraz według twierdzenia Pitagorasa
# a ^ 2 + b ^ 2 = BC ^ 2 + AC ^ 2 #
= # (BO-OC) ^ 2 + AC ^ 2 #
= # BO ^ 2 + OC ^ 2-2BOxxCO + AO ^ 2 + OC ^ 2 #
= # BO ^ 2 + AO ^ 2-2OC (BO-OC) #
= # AB ^ 2-2OCxxBC = c ^ 2-OCxxBC #
Stąd # a ^ 2 + b ^ 2 <c ^ 2 #
(iii) i jeśli #/_DO# jest ostry # cosC # jest pozytywny i stąd # c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab | cosC | #. Stąd, # a ^ 2 + b ^ 2> c ^ 2 # znaczy #/_DO# jest ostry.
Ponownie używając twierdzenia Pitagorasa, aby to sprawdzić, narysuj # DeltaABC # z # / _ C <90 ^ @ # i narysuj # AO # prostopadle do #PNE# jak pokazano. Teraz według twierdzenia Pitagorasa
# a ^ 2 + b ^ 2 = BC ^ 2 + AC ^ 2 #
= # (BO + OC) ^ 2 + AO ^ 2 + OC ^ 2 #
= # BO ^ 2 + OC ^ 2 + 2BOxxCO + AO ^ 2 + OC ^ 2 #
= # AB ^ 2 + 2OC (CO + OB) #
= # c ^ 2 + 2axxOC #
Stąd # a ^ 2 + b ^ 2> c ^ 2 #
