Jak znaleźć całkę intx ^ 5 * ln (x) dx? - Rachunek Różniczkowy 2024

Według integracji według części, #int x ^ 5lnx dx = x ^ 6/36 (6lnx-1) + C #

Spójrzmy na niektóre szczegóły.

Pozwolić # u = lnx # i # dv = x ^ 5dx #.

#Rightarrow du = {dx} / x # i # v = x ^ 6/6 #

Według integracji według części

#int udv = uv-int vdu #, mamy

#int (lnx) cdot x ^ 5dx = (lnx) cdot x ^ 6/6-int x ^ 6 / 6cdot dx / x #

upraszczając trochę

# = x ^ 6 / 6lnx-int x ^ 5 / 6dx #

według reguły mocy

# = x ^ 6 / 6lnx-x ^ 6/36 + C #

przez faktoring # x ^ 6/36 #, # = x ^ 6/36 (6lnx-1) + C #

Jak znaleźć całkę intarctan (4x) dx?

I = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 8log | (1 + 16x ^ 2) | + C (1) I = inttan ^ -1 (4x) dx Niech, tan ^ -1 (4x) = urArr4x = tanurArr4dx = sec ^ 2ururArrdx = 1/4 s ^ 2udu I = intu * 1/4 s ^ 2udu = 1 / 4intu * sec ^ 2udu Korzystanie z integracji przez części, I = 1/4 [u * intsec ^ 2udu-int (d / (du) (u) * intsec ^ 2udu) du] = 1/4 [u * tanu-int1 * tanudu] = 1/4 [u * tanu-log | secu |] + C = 1/4 [tan ^ -1 (4x) * (4x) -log | sqrt (1 + tan ^ 2u |] + C = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C Druga metoda: (2) I = int1 * tan ^ -1 (4x) dx = tan ^ -1 (4x) * x-int (1 /

Jak znaleźć całkę int (ln (x)) ^ 2dx?

Naszym celem jest zmniejszenie mocy ln x, aby integralność była łatwiejsza do oceny. Możemy to osiągnąć, używając integracji według części. Pamiętaj o formule IBP: int u dv = uv - int v du Teraz pozwolimy u = (lnx) ^ 2 i dv = dx. Dlatego du = (2lnx) / x dx oraz v = x. Teraz, łącząc elementy, otrzymujemy: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Ta nowa całka wygląda o wiele lepiej! Uproszczenie nieco i sprowadzenie stałej z przodu, daje: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Aby pozbyć się tej następnej całki, zrobimy drugą integrację według części, pozwalając u = ln x i dv = dx. Zatem du = 1 / x dx

Jak znaleźć całkę intsin ^ -1 (x) dx?

Integracja przez części, int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C Spójrzmy na niektóre szczegóły. Niech u = sin ^ {- 1} x i dv = dx. Rightarrow du = {dx} / sqrt {1-x ^ 2} i v = x Integracja przez części, int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x-intx / sqrt {1-x ^ 2 } dx Niech u = 1-x ^ 2. Rightarrow {du} / {dx} = - 2x Rightarrow dx = {du} / {- 2x} intx / sqrt {1-x ^ 2} dx = int x / sqrt {u} {du} / {- 2x} = -1 / 2intu ^ {- 1/2} du = -u ^ {1/2} + C = -sqrt {1-x ^ 2} + C Stąd, int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C