Jeśli f (x) = x tan ^ -1, a następnie f (1), to co?

Odpowiedź:

# f (1) # gdzie #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Wyjaśnienie:

Zakładam, że pytanie jest #f (1) # gdzie #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Zwykle traktowałbym # arctan # jako wielowartościowy. Ale tutaj z wyraźną notacją funkcji #f (x) # Powiem, że chcemy głównej wartości odwrotnej stycznej. Kąt z styczną 1 w pierwszym kwadrancie wynosi # 45 ^ circ # lub # pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

To koniec. Ale odłóżmy to na bok i skupmy się na tym, co #arctan t # naprawdę znaczy.

Zwykle myślę o tym #tan ^ -1 (t) # lub równoważnie (i myślę, że lepszy zapis) #arctan (t) # jak wyrażenie wielowartościowe. „Funkcja” arctan tak naprawdę nie jest funkcją, ponieważ jest odwrotnością czegoś okresowego, co tak naprawdę nie może mieć odwrotności w całej swojej domenie.

Jest to bardzo mylące dla uczniów i nauczycieli. Nagle mamy rzeczy, które wyglądają jak funkcje, które tak naprawdę nie działają. Wśliznęli się pod radar. Nowe zasady są wymagane do radzenia sobie z nimi, ale nigdy nie są wyraźnie określone. Matematyka zaczyna się rozmywać, gdy nie powinna.

# x = arctan t # najlepiej myśleć o rozwiązaniach #tan x = t. # Istnieje ich niezliczona liczba, jedna na okres. Tangent ma okres #Liczba Pi# więc rozwiązania są #Liczba Pi# osobno, czyli gdzie #pi k # pochodzi z liczby całkowitej # k #.

Zwykle zapisuję główną wartość odwrotnej stycznej jako Arctana, z dużą literą A. Niestety Sokratejczyk ciągle ją „poprawia”. Zamierzam to zrobić tutaj:

#t = tan x # ma rozwiązania

#x = arctan t = tekst {łuk} tekst {tan} (t) + pi k quad # dla liczby całkowitej # k #.