Jak uprościć grzech (arccos (sqrt (2) / 2) -arcsin (2x))?

Odpowiedź:

dostaję #sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) ## = {2x pm sqrt {1 - 4x ^ 2}} / {sqrt {2}} #

Wyjaśnienie:

Mamy sinus różnicy, więc krok pierwszy będzie formułą różnicy kątów, #sin (a-b) = sin a cos b - cos a sin b #

#sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) #

# = sin arccos (sqrt {2} / 2) cos arcsin (2x) + cos arccos (sqrt {2} / 2) sin arcsin (2x) #

Cóż sinus arcsine i cosinus arccosine są łatwe, ale co z innymi? Cóż, rozpoznajemy #arccos (srt {2} / 2) # tak jak # 45 45 ^ circ #, więc

#sin arccos (sqrt {2} / 2) = pm sqrt {2} / 2 #

Opuszczę #po południu# tam; Staram się postępować zgodnie z konwencją, że arccos to wszystkie odwrotne cosinusy, w przeciwieństwie do Arccos, głównej wartości.

Jeśli wiemy, sinus kąta jest # 2x #, to jest strona # 2x # i przeciwprostokątna z #1# więc druga strona jest # srt {1-4x ^ 2} #.

# cos arcsin (2x) = pm sqrt {1-4x ^ 2} #

Teraz, #sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) #

# = pm sqrt {2} / 2 sqrt {1-4x ^ 2} + (sqrt {2} / 2) (2x) #

# = {2x pm sqrt {1 - 4x ^ 2}} / {sqrt {2}} #