Jak znaleźć punkty przegięcia dla y = sin x + cos x?

Odpowiedź:

Punkt przegięcia to: # ((3pi) / 4 + 2kpi, 0) „AND” ((-pi / 2 + 2kpi, 0)) #

Wyjaśnienie:

1 - Najpierw musimy znaleźć drugą pochodną naszej funkcji.

2 - Po drugie, utożsamiamy tę pochodną# ((d ^ 2y) / (dx ^ 2)) # do zera

# y = sinx + cosx #

# => (dy) / (dx) = cosx-sinx #

# => (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = - sinx-cosx #

Kolejny, # -sinx-cosx = 0 #

# => sinx + cosx = 0 #

Teraz wyrazimy to w formie #Rcos (x + lamda) #

Gdzie #lambda# jest tylko ostrym kątem i # R # jest dodatnią liczbą całkowitą do ustalenia. Lubię to

# sinx + cosx = Rcos (x + lambda) #

# => sinx + cosx = Rcosxcoslamda - sinxsinlamda #

Zrównując współczynniki # sinx # i # cosx # po obu stronach równania,

# => Rcoslamda = 1 #

i # Rsinlambda = -1 #

# (Rsinlambda) / (Rcoslambda) = (- 1) / 1 => tanlambda = -1 => lambda = tan ^ -1 (-1) = - pi / 4 #

I # (Rcoslambda) ^ 2 + (Rsinlambda) ^ 2 = (1) ^ 2 + (- 1) ^ 2 #

# => R ^ 2 (cos ^ 2x + sin ^ 2x) = 2 #

Ale znamy tożsamość, # cos ^ 2x + sin ^ 2 = 1 #

Stąd, # R ^ 2 (1) = 2 => R = sqrt (2) #

W skrócie, # (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = - sinx-cosx = sqrt (2) cos (x-pi / 4) = 0 #

# => sqrt (2) cos (x-pi / 4) = 0 #

# => cos (x-pi / 4) = 0 = cos (pi / 2) #

Więc ogólne rozwiązanie # x # jest: # x-pi / 4 = + - pi / 2 + 2kpi #, # kinZZ #

# => x = pi / 4 + -pi / 2 + 2kpi #

Punkty przegięcia będą dowolnym punktem o współrzędnych:

# (pi / 4 + -pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (pi / 4 + -pi / 2-pi / 4)) #

Mamy dwa przypadki, z którymi możemy się spotkać, Przypadek 1

# (pi / 4 + pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (pi / 4 + pi / 2-pi / 4)) #

# => ((3pi) / 4 + 2kpi, sqrt (2) cos (pi / 2)) #

# => ((3pi) / 4 + 2kpi, 0) #

Przypadek 2

# (pi / 4-pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (pi / 4-pi / 2-pi / 4)) #

# => (- pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (-pi / 2)) #

# => ((- pi / 2 + 2kpi, 0)) #