Wektor vec A znajduje się na płaszczyźnie współrzędnych. Płaszczyzna jest następnie obracana przeciwnie do ruchu wskazówek zegara przez phi.Jak znaleźć składniki vec A pod względem składników vec A po obróceniu płaszczyzny?

Odpowiedź:

patrz poniżej

Wyjaśnienie:

Macierz # R (alfa) # obróci się CCW dowolny punkt na płaszczyźnie XY przez kąt #alfa# o pochodzeniu:

# R (alfa) = ((cos alfa, -sin alfa), (sin alpha, cos alpha)) #

Ale zamiast obracać CCW samolot, obróć CW wektor #mathbf A # aby zobaczyć, że w oryginalnym układzie współrzędnych x-y jego współrzędne to:

#mathbf A '= R (-alpha) mathbf A #

#implies mathbf A = R (alpha) mathbf A '#

#implies ((A_x), (A_y)) = ((cos alfa, -sin alfa), (sin alpha, cos alpha)) ((A'_x), (A'_y)) #

IOW, myślę, że twoje rozumowanie wygląda dobrze.

Dlaczego Ziemia obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara na półkuli północnej i zgodnie z ruchem wskazówek zegara na półkuli południowej?

Kierunek obrotu zmieni się, jeśli spojrzysz w przeciwnym kierunku. Weź w dłonie dowolny mały cylindryczny przedmiot. Teraz obserwuj z każdego końca. Zobaczysz go w różnych kierunkach z każdego końca.

Punkt A jest na (-2, -8), a punkt B jest na (-5, 3). Punkt A jest obracany (3pi) / 2 zgodnie z ruchem wskazówek zegara względem początku. Jakie są nowe współrzędne punktu A i jak zmieniła się odległość między punktami A i B?

Niech Początkowa współrzędna biegunowa A, (r, theta) Dana Początkowa współrzędna kartezjańska A, (x_1 = -2, y_1 = -8) Możemy więc pisać (x_1 = -2 = rcosthetaandy_1 = -8 = rsintheta) Po 3pi / 2 obrót w prawo nowa współrzędna A staje się x_2 = rcos (-3pi / 2 + theta) = rcos (3pi / 2-theta) = - rsintheta = - (- 8) = 8 y_2 = rsin (-3pi / 2 + theta ) = - rsin (3pi / 2-theta) = rcostheta = -2 Początkowa odległość A od B (-5,3) d_1 = sqrt (3 ^ 2 + 11 ^ 2) = sqrt130 końcowa odległość między nową pozycją A ( 8, -2) i B (-5,3) d_2 = sqrt (13 ^ 2 + 5 ^ 2) = sqrt194 Więc różnica = sqrt194-sqrt130 również

Masywny dysk, obracający się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ma masę 7 kg i promień 3 m. Jeśli punkt na krawędzi dysku porusza się z prędkością 16 m / s w kierunku prostopadłym do promienia dysku, jaki jest moment pędu i prędkość dysku?

Dla dysku obracającego się z jego osią przechodzącą przez środek i prostopadłego do jego płaszczyzny, moment bezwładności, I = 1 / 2MR ^ 2 Więc moment bezwładności dla naszego przypadku, I = 1 / 2MR ^ 2 = 1/2 xx (7 kg) xx (3 m) ^ 2 = 31,5 kg ^ 2 gdzie, M oznacza całkowitą masę dysku, a R oznacza promień. prędkość kątowa (omega) dysku jest podana jako: omega = v / r, gdzie v jest prędkością liniową w pewnej odległości r od środka. Tak więc prędkość kątowa (omega), w naszym przypadku = v / r = (16ms ^ -1) / (3m) ~~ 5.33 rad "/" s Stąd, moment kątowy = I omega ~~ 31,5 xx 5,33 r kg m ^ 2 s ^ -1 = 167,895 r kg m ^ 2 s