Dwa rogi trójkąta równoramiennego znajdują się w (9, 6) i (7, 2). Jeśli pole trójkąta wynosi 64, jakie są długości boków trójkąta?

Odpowiedź:

# "boki" a = c = 28,7 "jednostek" # i # "strona" b = 2sqrt5 "jednostki" #

Wyjaśnienie:

pozwolić #b = # odległość między dwoma punktami:

#b = sqrt ((9-7) ^ 2 + (6-2) ^ 2) #

#b = 2sqrt5 "units" #

Dano nam, że # „Obszar” = 64 „jednostki” ^ 2 #

Niech „a” i „c” będą dwoma pozostałymi stronami.

Na trójkąt # „Obszar” = 1 / 2bh #

Zastępując wartości „b” i obszaru:

# 64 "jednostki" ^ 2 = 1/2 (2sqrt5 "jednostki") h #

Rozwiąż wysokość:

#h = 64 / sqrt5 = 64 / 5sqrt5 "units" #

Pozwolić #C = # kąt między stroną „a” i bokiem „b”, a następnie możemy użyć trójkąta prostokątnego utworzonego przez bok „b” i wysokość, aby napisać następujące równanie:

#tan (C) = h / (1 / 2b) #

#tan (C) = (64 / 5sqrt5 "jednostek") / (1/2 (2sqrt5 "jednostek")) #

#C = tan ^ -1 (64/5) #

Możemy znaleźć długość boku „a”, korzystając z następującego równania:

#h = (a) sin (C) #

#a = h / sin (C) #

Zastąp wartości „h” i „C”:

#a = (64 / 5sqrt5 "jednostki") / sin (tan ^ -1 (64/5)) #

#a = 28,7 "jednostek" #

Intuicja mówi mi, że strona „c” ma taką samą długość jak strona „a”, ale możemy to udowodnić za pomocą Prawa kosinusów:

# c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2 (a) (b) cos (C) #

Zastąp wartości a, b i C:

# c ^ 2 = (28,7 "jednostek") ^ 2 + (2sqrt5 "jednostek") ^ 2 - 2 (28,7 "jednostek") (2sqrt5 "jednostek") cos (tan ^ -1 (64/5)) #

#c = 28,7 "jednostek" #