Jaka jest formuła, aby znaleźć obszar regularnego sześciokąta?

Odpowiedź:

#S _ („regularny dodecagon”) = (3 / (tan 15 ^ @)) „bok” ^ 2 ~ = 11,196152 * „bok” ^ 2 #

Wyjaśnienie:

Myśląc o regularnym dwunastym wpisanym w okrąg, widzimy, że składa się z 12 trójkątów równoramiennych, których boki są promieniem okręgu, promieniem okręgu i bokiem dodecagonu; w każdym z tych trójkątów kąt przeciwny do boku dwunastokąta jest równy #360^@/12=30^@#; obszar każdego z tych trójkątów wynosi # („bok” * ”wysokość) / 2 #, musimy tylko określić wysokość prostopadłą do boku dwunastnicy, aby rozwiązać problem.

We wspomnianym trójkącie równoramiennym, którego podstawą jest bok dodekagonu, a którego równymi bokami są promienie okręgu, których kąt jest przeciwny do podstawy (#alfa#) jest równe #30^@#, jest tylko linia narysowana z wierzchołka, w którym spotykają się promienie okręgu (punkt C), która przecina prostopadle bok dodecagonu: ta linia przecina kąt #alfa# jak również określa wysokość trójkąta między punktem C a punktem, w którym baza jest przechwycona (punkt M), jak również dzieli bazę na dwie równe części (wszystkie ponieważ dwa mniejsze trójkąty tak uformowane są przystające).

Ponieważ wspomniane dwa mniejsze trójkąty są właściwe, możemy określić wysokość trójkąta równoramiennego w ten sposób:

#tan (alpha / 2) = "przeciwstawny kathetus" / "przyległy kathetus" # => #tan (30 ^ @ / 2) = („strona” / 2) / „wysokość” # => #height = "side" / (2 * tan 15 ^ @) #

Następnie mamy

#S_ (dwunastokąt) = 12 * S_ (trójkąt) = 12 * ((„bok”) („wysokość”)) / 2 = 6 * („bok”) („bok”) / (2 * tan 15 ^ @) # => #S_ (dodecagon) = 3 * („bok”) ^ 2 / (tan 15 ^ @) #