Jaka jest wariancja X, jeśli ma następującą funkcję gęstości prawdopodobieństwa ?: f (x) = {3x2 jeśli -1 <x <1; 0 w przeciwnym razie}

Odpowiedź:

#Var = sigma ^ 2 = int (x-mu) ^ 2f (x) dx # które nie mogą być zapisane jako:

# sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mu ^ 2 + mu ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx - mu ^ 2 #

# sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx = 3/5 x ^ 5 _- 1 ^ 1 = 6/5 #

Wyjaśnienie:

Zakładam to pytanie

#f (x) = 3x ^ 2 "dla" -1 <x <1; 0 „inaczej” #

Znajdź wariancję?

#Var = sigma ^ 2 = int (x-mu) ^ 2f (x) dx #

Rozszerzać:

# sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mucancel (intxf (x) dx) ^ mu + mu ^ 2cancel (intf (x) dx) ^ 1 #

# sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mu ^ 2 + mu ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx - mu ^ 2 #

zastąpić

# sigma ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 2 * x ^ 2dx -mu ^ 2 = sigma_0 ^ 2 + mu ^ 2 #

Gdzie, # sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx # i # mu = 3int_-1 ^ 1 x ^ 3dx #

Policzmy # sigma_0 ^ 2 "i" mu #

przez symetrię # mu = 0 # pokazać:

# mu = 3int_-1 ^ 1 x ^ 3dx = 3 / 4x ^ 4 _- 1 ^ 1 = 3/4 1-1 #

# sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx = 3/5 x ^ 5 _- 1 ^ 1 = 6/5 #

Załóżmy, że X jest ciągłą zmienną losową, której funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest dana przez: f (x) = k (2x - x ^ 2) dla 0 <x <2; 0 dla wszystkich pozostałych x. Jaka jest wartość k, P (X> 1), E (X) i Var (X)?

K = 3/4 P (x> 1) = 1/2 E (X) = 1 V (X) = 1/5 Aby znaleźć k, używamy int_0 ^ 2f (x) dx = int_0 ^ 2k (2x-x ^ 2) dx = 1:. k [2x ^ 2/2-x ^ 3/3] _0 ^ 2 = 1 k (4-8 / 3) = 1 => 4 / 3k = 1 => k = 3/4 Aby obliczyć P (x> 1 ), używamy P (X> 1) = 1-P (0 <x <1) = 1-int_0 ^ 1 (3/4) (2x-x ^ 2) = 1-3 / 4 [2x ^ 2 / 2-x ^ 3/3] _0 ^ 1 = 1-3 / 4 (1-1 / 3) = 1-1 / 2 = 1/2 Aby obliczyć E (X) E (X) = int_0 ^ 2xf (x ) dx = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 2-x ^ 3) dx = 3/4 [2x ^ 3/3-x ^ 4/4] _0 ^ 2 = 3/4 (16 / 3- 16/4) = 3/4 * 16/12 = 1 Aby obliczyć V (X) V (X) = E (X ^ 2) - (E (X)) ^ 2 = E (X ^ 2) -1 E (X ^ 2) = int_0 ^ 2x ^ 2f (x) dx

Korzenie {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 z x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 są takie, że każdy x_i = 1. Jak udowodnić, że jeśli b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5 ?. W przeciwnym razie b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?

Zamiast tego odpowiedzią jest {(a, b)} = {(+ - 2, 1) (0, + -1)}, a odpowiednimi równaniami są (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 i x ^ 6 + -1 = 0 .. Dobra odpowiedź Cesereo R pozwoliła mi zmodyfikować moją wcześniejszą wersję, aby moja odpowiedź była w porządku. Forma x = r e ^ (i theta) może reprezentować zarówno rzeczywiste, jak i złożone korzenie. W przypadku prawdziwych korzeni x, r = | x |., Zgoda! Kontynuujmy. W tej postaci, przy r = 1, równanie dzieli się na dwa równania, cos 6theta + cos 3theta + b = 0 ... (1) i sin 6 theta + a sin 3 theta = 0 ... (2) Do bądź spokojny, najpierw wybierz (3) i użyj grzechu 6the

Jaka jest średnia i wariancja zmiennej losowej z następującą funkcją gęstości prawdopodobieństwa ?: f (x) = 3x ^ 2 jeśli -1 <x <1; 0 inaczej

Średnia E (X) = 0 i wariancja „Var” (X) = 6/5. Zauważ, że E (X) = int_-1 ^ 1 x * (3x ^ 2) "" dx = int_-1 ^ 1 3x ^ 3 "" dx = 3 * [x ^ 4/4] _ ("(" - 1, 1 ")") = 0 Zauważ również, że "Var" (x) = E (X ^ 2) - (E (X)) ^ 2 = 3 * [x ^ 5/5] _ ("(" - 1, 1 ")") - 0 ^ 2 = 3/5 * (1 + 1) = 6/5