Jak znaleźć równanie linii stycznej do funkcji y = x ^ 2 (x-2) ^ 3 przy x = 1?

Odpowiedź:

Równanie to # y = 9x-10 #.

Wyjaśnienie:

Aby znaleźć równanie linii, potrzebujesz trzech części: nachylenia, a # x # wartość punktu i a # y # wartość.

Pierwszym krokiem jest znalezienie pochodnej. To da nam ważne informacje o nachyleniu stycznej. Użyjemy reguły łańcucha, aby znaleźć pochodną.

# y = x ^ 2 (x-2) ^ 3 #

# y = 3x ^ 2 (x-2) ^ 2 (1) #

# y = 3x ^ 2 (x-2) ^ 2 #

Pochodna mówi nam, jak wygląda nachylenie pierwotnej funkcji. Chcemy poznać nachylenie w tym konkretnym punkcie, # x = 1 #. Dlatego po prostu podłączamy tę wartość do równania pochodnego.

# y = 3 (1) ^ 2 (1-2) ^ 2 #

# y = 9 (1) #

# y = 9 #

Teraz mamy nachylenie i # x # wartość. Aby określić inną wartość, podłączamy # x # do pierwotnej funkcji i rozwiąż # y #.

# y = 1 ^ 2 (1-2) ^ 3 #

# y = 1 (-1) #

# y = -1 #

Dlatego nasze nachylenie jest #9# i naszym celem jest #(1,-1)#. Możemy użyć wzoru na równanie linii, aby uzyskać naszą odpowiedź.

# y = mx + b #

# m # jest nachyleniem i #b# jest pionowym przecięciem. Możemy podłączyć wartości, które znamy i rozwiązujemy dla tego, którego nie mamy.

# -1 = 9 (1) + b #

# -1 = 9 + b #

# -10 = b #

Wreszcie możemy skonstruować równanie stycznej.

# y = 9x-10 #

Rozwiązałem w ten sposób! Zobacz odpowiedź poniżej:

Jak znaleźć równanie linii stycznej do funkcji y = x ^ 2-5x + 2 przy x = 3?

Y = x-7 Niech y = f (x) = x ^ 2-5x + 2 W x = 3, y = 3 ^ 2-5 * 3 + 2 = 9-15 + 2 = -6 + 2 = -4 Tak więc współrzędna jest na (3, -4). Najpierw musimy znaleźć nachylenie linii stycznej w punkcie, rozróżniając f (x) i podłączając tam x = 3. : .f '(x) = 2x-5 Przy x = 3, f' (x) = f '(3) = 2 * 3-5 = 6-5 = 1 Tak więc nachylenie linii stycznej będzie 1. Teraz używamy wzoru punkt-nachylenie, aby obliczyć równanie linii, to znaczy: y-y_0 = m (x-x_0), gdzie m jest nachyleniem linii, (x_0, y_0) to oryginał współrzędne. I tak, y - (- 4) = 1 (x-3) y + 4 = x-3 y = x-3-4 y = x-7 Wykres pokazuje, że to prawda:

Jak znaleźć równanie linii stycznej do wykresu f (x) = (ln x) ^ 5 przy x = 5?

F '(x) = 5 (ln x) (1 / x) f' (5) = 5 (ln 5) (1/5) = ln 5 ---- to nachylenie f (5) = (ln 5) ^ 5 y- (ln 5) ^ 5 = ln 5 (x - 5) Użyj reguły łańcuchowej, aby znaleźć pochodną f (x), a następnie wpisz 5 dla x. Znajdź współrzędną y, wstawiając 5 dla x w pierwotnej funkcji, a następnie użyj nachylenia i punktu, aby zapisać równanie linii stycznej.

Jak znaleźć równanie linii stycznej do funkcji y = (x-1) (x ^ 2-2x-1) przy x = 2?

Y = x-3 jest równaniem twojej linii stycznej Musisz wiedzieć, że kolor (czerwony) (y '= m) (nachylenie), a także równanie linii to kolor (niebieski) (y = mx + b) y = (x-1) (x ^ 2-2x-1) = x ^ 3-2x ^ 2-xx ^ 2 + 2x + 1 => y = x ^ 3-3x ^ 2 + x + 1 y '= 3x ^ 2-6x + 1 y '= m => m = 3x ^ 2-6x + 1 i przy x = 2, m = 3 (2) ^ 2-6 (2) + 1 = 12-12 + 1 = 1 y = x ^ 3-3x ^ 2 + x + 1 i na x = 2, y = (2) ^ 3-3 (2) ^ 2 + 2 + 1 = 8-12 + 3 = -1 Teraz, my mają y = -1, m = 1 i x = 2, wszystko, co musimy znaleźć, aby zapisać równanie linii to: = mx + b => - 1 = 1 (2) + b => b = -3 Więc , linia jest y = x-3 Z