Jak znaleźć pierwotną (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Odpowiedź:

#arctan (e ^ x) + C #

Wyjaśnienie:

# „wpisz„ e ^ x ”dx jako„ d (e ^ x) ”, a następnie otrzymamy„ #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "z podstawieniem y =" e ^ x ", dostajemy" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "co jest równe" #

#arctan (y) + C #

# "Teraz zastąpić z powrotem" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Odpowiedź:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Wyjaśnienie:

Chcemy znaleźć # inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) „d” x = int1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x „d” x #

Teraz pozwól # u = e ^ x # a więc biorąc różnicę po obu stronach daje # du = e ^ xdx #. Teraz zastępujemy oba te równania całką, aby uzyskać

# int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

Jest to standardowa całka, która się sprawdza # arctanu #. Zastępując z powrotem # x # otrzymujemy ostateczną odpowiedź:

#arctan e ^ x + "c" #

Odpowiedź:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Wyjaśnienie:

Po pierwsze, pozwoliliśmy # u = 1 + e ^ (2x) #. Aby zintegrować w odniesieniu do # u #, dzielimy przez pochodną # u #, który jest # 2e ^ (2x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u)

Aby zintegrować w odniesieniu do # u #, potrzebujemy wszystkiego wyrażonego w kategoriach # u #, więc musimy rozwiązać co # e ^ x # jest pod względem # u #:

# u = 1 + e ^ (2x) #

# e ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# x = 1 / 2ln (u-1) #

# x = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# e ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

Teraz możemy podłączyć to z powrotem do całki:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

Następnie wprowadzimy substytucję za pomocą # z = sqrt (u-1) #. Pochodna to:

# (dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

dzielimy się przez to integracją w odniesieniu do # z # (pamiętaj, że podział jest taki sam jak mnożenie przez odwrotność):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int

Teraz znowu mamy niewłaściwą zmienną, więc musimy rozwiązać co # u # jest równa pod względem # z #:

# z = sqrt (u-1) #

# u-1 = z ^ 2 #

# u = z ^ 2 + 1 #

To daje:

#int / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

To jest wspólna pochodna # tan ^ -1 (z) #, więc dostajemy:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Cofając wszystkie zmiany, otrzymujemy:

# tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = #

# = tan ^ -1 (e ^ x) + C #