Dwa rogi trójkąta mają kąty (3 pi) / 4 i pi / 6. Jeśli jedna strona trójkąta ma długość 9, jaki jest najdłuższy możliwy obwód trójkąta?

Odpowiedź:

Najdłuższy możliwy obwód to # (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

Wyjaśnienie:

Przy podanych dwóch kątach możemy znaleźć trzeci kąt, używając koncepcji, że suma wszystkich trzech kątów w trójkącie wynosi # 180 ^ @ lub pi #:

# (3pi) / 4 + pi / 6 + x = pi #

#x = pi - (3pi) / 4 - pi / 6 #

#x = pi - (11pi) / 12 #

#x = pi / 12 #

Stąd trzeci kąt to # pi / 12 #

Powiedzmy, powiedzmy

# / _ A = (3pi) / 4, / _B = pi / 6 i / _C = pi / 12 #

Używamy Sine Rule, # (Sin / _A) / a = (Sin / _B) / b = (Sin / _C) / c #

gdzie, a, b i c to długość boków przeciwnych do # / _ A, / _B i / _C # odpowiednio.

Używając powyższego zestawu równań, mamy następujące:

#a = a, b = (Sin / _B) / (Sin / _A) * a, c = (Sin / _C) / (Sin / _A) * a #

#lub a = a, b = (Sin (pi / 6)) / (Sin ((3pi) / 4)) * a, c = (Sin (pi / 12)) / (Sin ((3pi) / 4))*za#

#rArr a = a, b = a / (sqrt2), c = (a * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

Teraz, aby znaleźć najdłuższy możliwy obwód trójkąta

#P = a + b + c #

Zarozumiały, #a = 9 #, mamy

#a = 9, b = 9 / sqrt2 i c = (9 * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

#rArrP = 9 + 9 / (sqrt2) + (9 * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

#lub P = (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / 2 #

#lub P ~~ 18,66 #

Zarozumiały, #b = 9 #, mamy

#a = 9sqrt2, b = 9 i c = (9 * (sqrt (3) - 1)) / sqrt2 #

#rArrP = 9sqrt2 + 9 + (9 * (sqrt (3) - 1)) / sqrt2 #

#lub P = (9 (2 + sqrt 2 + sqrt 6)) / 2 #

#lub P ~~ 26,39 #

Zarozumiały, #c = 9 #, mamy

#a = 18 / (sqrt3 - 1), b = (9sqrt2) / (sqrt3 - 1) i c = 9 #

#rArrP = 18 / (sqrt3 - 1) + (9sqrt2) / (sqrt3 - 1) + 9 #

#lub P = (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

#lub P ~~ 50,98 #

Dlatego najdłuższy możliwy obwód danego trójkąta wynosi # (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

Dwa rogi trójkąta mają kąty (2 pi) / 3 i (pi) / 4. Jeśli jedna strona trójkąta ma długość 12, jaki jest najdłuższy możliwy obwód trójkąta?

Najdłuższy możliwy obwód wynosi 12 + 40,155 + 32,786 = 84,941. Ponieważ dwa kąty wynoszą (2pi) / 3 i pi / 4, trzeci kąt to pi-pi / 8-pi / 6 = (12pi-8pi-3pi) / 24- = pi / 12. Dla najdłuższej strony obwodu o długości 12, powiedzmy a, musi być przeciwny najmniejszy kąt pi / 12, a następnie za pomocą wzoru sinusowego pozostałe dwie strony będą wynosić 12 / (sin (pi / 12)) = b / (sin ((2pi) / 3)) = c / (sin (pi / 4)) Stąd b = (12sin ((2pi) / 3)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.866) /0.2588=40.155 i c = ( 12xxsin (pi / 4)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.7071) / 0,2588=32.786 Stąd najdłuższy możliwy obwód wynosi 12 + 40.155 + 32

Dwa rogi trójkąta mają kąty (2 pi) / 3 i (pi) / 4. Jeśli jedna strona trójkąta ma długość 4, jaki jest najdłuższy możliwy obwód trójkąta?

P_max = 28,31 jednostek Problem daje dwa z trzech kątów w dowolnym trójkącie. Ponieważ suma kątów w trójkącie musi sumować się do 180 stopni, lub pi radianów, możemy znaleźć trzeci kąt: (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi x = pi- (2pi) / 3- pi / 4 x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 x = pi / 12 Narysujmy trójkąt: Problem stwierdza, że jeden z boków trójkąta ma długość 4, ale nie określa strony. Jednak w każdym danym trójkącie prawdą jest, że najmniejszy bok będzie przeciwny od najmniejszego kąta. Jeśli chcemy zmaksymalizować obwód, powinniśmy wykonać bok o długości 4 po przeci

Dwa rogi trójkąta mają kąty (2 pi) / 3 i (pi) / 4. Jeśli jedna strona trójkąta ma długość 19, jaki jest najdłuższy możliwy obwód trójkąta?

Najdłuższy możliwy kolor obwodu (zielony) (P = 19 + 51,909 + 63,5752 = 134,4842) Trzy kąty wynoszą (2 ppi) / 3, pi / 4, pi / 12, ponieważ trzy kąty sumują się do pi ^ c Aby uzyskać najdłuższy obwód, bok 19 powinien odpowiadać najmniejszemu kątowi pi / 12 19 / sin (pi / 12) = b / sin (pi / 4) = c / sin ((2pi) / 3) b = (19 * sin (pi / 4) ) / sin (pi / 12) = 51.909 c = (19 * sin ((2pi) / 3)) / sin (pi / 12) = 63,5752 Najdłuższy możliwy kolor obwodu (zielony) (P = 19 + 51,909 + 63,5752 = 134,4842 )