1.cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ((19π) / 24) + cos ^ 2 ((31π) / 24) + cos ^ 2 ((37π) / 24) =? rozwiązać to

Odpowiedź:

# cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ({19π} / 24) + cos ^ 2 ({31π} / 24) + cos ^ 2 ({37π} / 24) = 2 #

Wyjaśnienie:

Zabawa. Nie wiem, jak to zrobić odręcznie, więc spróbujemy kilku rzeczy.

Nie wydaje się, aby w grze występowały komplementarne lub uzupełniające kąty, więc być może naszym najlepszym posunięciem jest rozpoczęcie od wzoru podwójnego kąta.

#cos 2 theta = 2 cos ^ 2 theta - 1 #

# cos ^ 2 theta = 1/2 (1 + cos 2 theta) #

# cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ({19π} / 24) + cos ^ 2 ({31π} / 24) + cos ^ 2 ({37π} / 24) #

# = 4 (1/2) + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({19 pi} / 12) + cos ({31 pi} / 12) + cos ({37 pi} / 12)) #

Teraz zamieniamy kąty na coterminal (te z tymi samymi funkcjami wyzwalania) przez odejmowanie # 2 pi. #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({19 pi} / 12 -2pi) + cos ({31 pi) / 12 - 2pi) + cos ({37 pi} / 12 - 2pi))) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos (- {5pi} / 12) + cos ({7pi} / 12) + cos ({13 pi} / 12)) #

Teraz zastępujemy kąty dodatkowymi kątami, które negują cosinus. Upuszczamy znak minus również w argumencie cosinus, który nie zmienia cosinusa.

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos (pi - {7pi} / 12) - cos (pi - {13 pi} / 12)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos ({5pi} / 12) - cos (-pi / 12)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos ({5pi} / 12) - cos (pi / 12)) #

# = 2 + 1/2(0) #

# = 2 #

Odpowiedź:

#2#

Wyjaśnienie:

Wiemy to, #cos (pi / 2 + theta) = - sintheta => kolor (czerwony) (cos ^ 2 (pi / 2 + theta) = (- sintheta) ^ 2 = sin ^ 2theta #

Więc, #color (czerwony) (cos ^ 2 ((31pi) / 24) = cos ^ 2 (pi / 2 + (19pi) / 24) = sin ^ 2 ((19pi) / 2) … do (1) #

# i cos ((3pi) / 2 + theta) = sintheta => kolor (niebieski) (cos ^ 2 ((3pi) / 2 + theta) = sin ^ 2theta #

# => kolor (niebieski) (cos ^ 2 ((37pi) / 2) = cos ^ 2 ((3pi) / 2 + pi / 24) = sin ^ 2 (pi / 24) … do (2) #

Za pomocą # (1) i (2) #

# X = cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ((19π) / 24) + kolor (czerwony) (cos ^ 2 ((31π) / 24)) + kolor (niebieski) (cos ^ 2 ((37π) / 24) #

# = cos ^ 2 (pi / 24) + cos ^ 2 ((19pi) / 2) + kolor (czerwony) (sin ^ 2 ((19pi) / 2)) + kolor (niebieski) (sin ^ 2 (pi / 24) #

# = {cos ^ 2 (pi / 24) + sin ^ 2 (pi / 24)} + {cos ^ 2 ((19pi) / 2) + sin ^ 2 ((19pi) / 2} #

# = 1 + 1 … do as, sin ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1 #

#=2#