Dwa rogi trójkąta równoramiennego znajdują się w (1, 3) i (9, 4). Jeśli pole trójkąta wynosi 64, jakie są długości boków trójkąta?

Odpowiedź:

Długość boków trójkąta to:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Wyjaśnienie:

Odległość między dwoma punktami # (x_1, y_1) # i # (x_2, y_2) # jest podany za pomocą wzoru odległości:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Więc odległość między # (x_1, y_1) = (1, 3) # i # (x_2, y_2) = (9, 4) # jest:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

która jest liczbą irracjonalną trochę większą niż #8#.

Gdyby jedna z pozostałych stron trójkąta była tej samej długości, wówczas maksymalnym możliwym obszarem trójkąta byłaby:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Więc tak nie może być. Zamiast tego pozostałe dwie strony muszą być tej samej długości.

Biorąc pod uwagę trójkąt z bokami # a = sqrt (65), b = t, c = t #, możemy użyć formuły Herona, aby znaleźć jego obszar.

Formuła czapli mówi nam, że obszar trójkąta z bokami #a, b, c # i półobwód #s = 1/2 (a + b + c) # jest dany przez:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

W naszym przypadku półobwód to:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

a formuła Herona mówi nam, że:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (biały) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Pomnóż oba końce przez #2# uzyskać:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Obróć obie strony, aby uzyskać:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Pomnóż obie strony przez #4/65# uzyskać:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Transponuj i dodaj #65/4# po obu stronach, aby uzyskać:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Weź pozytywny pierwiastek kwadratowy z obu stron, aby uzyskać:

#t = sqrt (266369/260) #

Tak więc długości boków trójkąta to:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Alternatywna metoda

Zamiast używać formuły Herona, możemy rozumować w następujący sposób:

Biorąc pod uwagę, że podstawa trójkąta równoramiennego ma długość:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Obszar jest # 64 = 1/2 „podstawa” xx „wysokość” #

Wysokość trójkąta to:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

Jest to długość prostopadłej dwusiecznej trójkąta, która przechodzi przez środek podstawy.

Pozostałe dwa boki tworzą przeciwprostokątne dwóch trójkątów prostokątnych z nogami #sqrt (65) / 2 # i # (128sqrt (65)) / 65 #

Tak więc przez Pitagorasa każda z tych stron ma długość:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #