Każdy prostokąt ma 6 cm długości i 3 cm szerokości, mają wspólną przekątną PQ. Jak pokazujesz, że tanalpha = 3/4?

Odpowiedź:

dostaję #tan alpha = tan (pi / 2 - 2 arctan (3/6)) = 3/4 #

Wyjaśnienie:

Zabawa. Mogę wymyślić kilka różnych sposobów na zobaczenie tego. Dla prostokąta poziomego nazwijmy lewy górny S i prawy dolny R. Nazwijmy wierzchołek wierzchołka, narożnik drugiego prostokąta, T.

Mamy kąty przystające QPR i QPT.

# tan QPR = tan QPT = frac {tekst {naprzeciwko}} {tekst {przylegający}} = 3/6 = 1/2 #

Daje nam to styczna formuła podwójnego kąta #tan RPT #

#tan (2x) = frac {2 tan x} {1 - tan ^ 2 x} #

#tan RPT = frak {2 (1/2)} {1 - (1/2) ^ 2} = 4/3 #

Teraz #alfa# jest uzupełniającym kątem RPT (sumują się # 90 ^ circ #), więc

# tan alpha = łóżeczko RPT = 3/4 #

Odpowiedź:

Patrz poniżej.

Wyjaśnienie:

Trójkąty # DeltaABP # i # DeltaCBQ # są trójkąty prostokątne, które mają:

# AP = CQ = 3 # i

# / _ ABP = / _ CBQ # ponieważ są to kąty pionowe.

Dlatego te dwa trójkąty są przystające.

To znaczy:

# PB = BQ #

Pozwolić # AB = x # i # BQ = y # następnie:

# PB = y #

Wiemy to:

# x + y = 6 # cm #color (czerwony) (Równanie-1) #

W trójkącie # DeltaABP #:

# y ^ 2 = x ^ 2 + 9 # #color (czerwony) (Równanie-2) #

Rozwiążmy dla # y # z #color (czerwony) (Równanie-1) #:

# y = 6-x #

Podłączmy to do #color (czerwony) (Równanie-2) #:

# (6-x) ^ 2 = x ^ 2 + 9 #

# 36-12x + x ^ 2 = x ^ 2 + 9 #

# 36-12x = 9 #

# 12x = 27 #

# x = 9/4 #

# tanalpha = (AB) / (AP) = x / 3 = (9/4) / 3 = 9/12 = 3/4 #