Jaki jest zakres funkcji kwadratowej?

Odpowiedź:

Zakres #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # jest:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) „jeśli” a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) „jeśli” a <0):} #

Wyjaśnienie:

Biorąc pod uwagę funkcję kwadratową:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # z #a! = 0 #

Możemy wypełnić kwadrat, aby znaleźć:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

Dla prawdziwych wartości # x # termin kwadratowy # (x + b / (2a)) ^ 2 # jest nieujemna, przyjmując minimalną wartość #0# gdy #x = -b / (2a) #.

Następnie:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

Jeśli #a> 0 # to jest minimalna możliwa wartość #f (x) # i zakres #f (x) # jest # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Jeśli #a <0 # wtedy jest to maksymalna możliwa wartość #f (x) # i zakres #f (x) # jest # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

Innym sposobem patrzenia na to jest pozwolenie #y = f (x) # i sprawdź, czy istnieje rozwiązanie # x # pod względem # y #.

Dany:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

Odejmować # y # z obu stron znaleźć:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

Wyróżniający #Delta# tego równania kwadratowego:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

Aby mieć prawdziwe rozwiązania, potrzebujemy #Delta> = 0 # a więc:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

Dodaj # 4ac-b ^ 2 # po obu stronach znaleźć:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

Jeśli #a> 0 # wtedy możemy po prostu podzielić obie strony przez # 4a # uzyskać:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Jeśli #a <0 # wtedy możemy podzielić obie strony # 4a # i odwróć nierówność, aby uzyskać:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #