Jak zintegrować int [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx przez ułamki cząstkowe?

Odpowiedź:

# 4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #

Wyjaśnienie:

Więc najpierw piszemy to:

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

Dodatkowo otrzymujemy:

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) / (x + 1) ^ 2 = (A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) #

Za pomocą # x = -2 # daje nam:

# 6 (-2) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = A (-1) ^ 2 #

# A = 4 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) #

Następnie za pomocą # x = -1 # daje nam:

# 6 (-1) ^ 2 + 13 (-1) + 6 = C #

# C = -1 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) -1) #

Teraz za pomocą # x = 0 # (można użyć dowolnej wartości, która nie została użyta):

# 6 = 4 + 2 (B-1) #

# 2 (B-1) = 2 #

# B-1 = 1 #

# B = 2 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (2 (x + 1) -1) #

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = 4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2 #

# int4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2dx = 4 ln (abs (x + 2)) + 2 l (abs (x + 1)) + int-1 / (x + 1) ^ 2dx #

Zostawiłem to, abyśmy mogli pracować nad nim osobno.

Mamy # - (x + 1) ^ - 2 #. Wiemy, że użycie reguły łańcucha daje nam # d / dx f (x) ^ n = nf (x) ^ (n-1) f '(x) #. Po prostu mamy # - (x + 1) ^ - 2 #, więc #f (x) # musi być # (x + 1) ^ - 1 #

# d / dx (x + 1) ^ - 1 = - (x + 1) ^ - 2 #

# int4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2dx = 4 ln (abs (x + 2)) + 2 l (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #