Jaka jest domena i zakres y = 4 / (x ^ 2-1)?

Odpowiedź:

Domena: # (- oo, -1) uu (-1, 1) uu (1, oo) #

Zasięg: # (- oo, -4 uu (0, oo) #

Wyjaśnienie:

Najlepiej wyjaśnij na wykresie.

wykres {4 / (x ^ 2-1) -5, 5, -10, 10}

Widzimy, że dla domeny wykres zaczyna się od ujemnej nieskończoności. Następnie uderza w asymptotę pionową przy x = -1.

To wymyślne math-talk dla wykresu nie jest zdefiniowane w x = -1, ponieważ przy tej wartości mamy #4/((-1)^2-1)# co równa się #4/(1-1)# lub #4/0#.

Ponieważ nie można podzielić przez zero, nie można mieć punktu w x = -1, więc trzymamy go poza domeną (pamiętajmy, że domena funkcji jest zbiorem wszystkich wartości x, które wytwarzają wartość y).

Następnie, między -1 a 1, wszystko jest w porządku, więc musimy uwzględnić go w domenie.

Sprawy zaczynają się układać ponownie przy x = 1. Po raz kolejny, po podłączeniu 1 dla x, wynikiem jest #4/0# więc musimy wykluczyć to z domeny.

Podsumowując, domena funkcji jest od ujemnej nieskończoności do -1, następnie od -1 do 1, a następnie do nieskończoności. Jest to mathy sposób wyrażania # (- oo, -1) uu (-1, 1) uu (1, oo) #.

Zakres podąża za tym samym pomysłem: jest zbiorem wszystkich wartości y funkcji. Z wykresu widzimy, że od ujemnej nieskończoności do -4 wszystko jest w porządku.

Potem wszystko zaczyna się na południe. Przy y = -4, x = 0; ale jeśli spróbujesz y = -3, nie dostaniesz x. Zegarek:

# -3 = 4 / (x ^ 2-1) #

# -3 (x ^ 2-1) = 4 #

# x ^ 2-1 = -4 / 3 #

# x ^ 2 = -4 / 3 + 1 = -1 / 3 #

#x = sqrt (-1/3) #

Nie ma czegoś takiego jak pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Mówi się, że niektóre liczby są równe #-1/3#, co jest niemożliwe, ponieważ kwadratura liczby zawsze ma pozytywny wynik.

To znaczy #y = "-" 3 # jest niezdefiniowane i dlatego nie jest częścią naszego zakresu. To samo dotyczy wszystkich wartości y między 4 a 0.

Od 0 powyżej wszystko jest dobre aż do nieskończoności. Nasz zakres jest wtedy ujemną nieskończonością do -4, a następnie 0 do nieskończoności; w kategoriach matematycznych # (- oo, -4 uu (0, oo) #.

Ogólnie rzecz biorąc, aby znaleźć domenę i zakres, musisz szukać miejsc, w których rzeczy są podejrzane. Zwykle wiąże się to z dzieleniem przez zero, z pierwiastkiem kwadratowym z liczby ujemnej itd.

Za każdym razem, gdy znajdziesz taki punkt, usuń go z domeny / zakresu i utwórz notację interwałową.