Załóżmy, że z = x + yi, gdzie x i y są liczbami rzeczywistymi. Jeśli (iz-1) / (z-i) jest liczbą rzeczywistą, pokaż, że gdy (x, y) nie są równe (0, 1), x ^ 2 + y ^ 2 = 1?

Odpowiedź:

Patrz poniżej,

Tak jak # z = x + iy #

# (iz-1) / (z-i) = (i (x + iy) -1) / (x + iy-i) #

= # (ix-y-1) / (x + i (y-1)) #

= # (ix- (y + 1)) / (x + i (y-1)) xx (x-i (y-1)) / (x-i (y-1)) #

= # ((ix- (y + 1)) (x-i (y-1))) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (ix ^ 2 + x (y-1) -x (y + 1) + i (y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (x ((y-1) - (y + 1)) + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (- 2x + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

Tak jak # (iz-1) / (z-i) # jest realne

# (x ^ 2 + y ^ 2-1) = 0 # i # x ^ 2 + (y-1) ^ 2! = 0 #

Teraz jak # x ^ 2 + (y-1) ^ 2 # jest sumą dwóch kwadratów, może być zero tylko wtedy, gdy # x = 0 # i # y = 1 # to znaczy

Jeśli # (x, y) # nie jest #(0,1)#, # x ^ 2 + y ^ 2 = 1 #