Funkcjonalna frakcja ciągła (FCF) klasy wykładniczej jest definiowana przez a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) , a> 0. Po ustawieniu a = e = 2.718281828 .., jak udowodnić, że e_ (cf) (0.1; 1) = 1.880789470, prawie?

Odpowiedź:

Zobacz wyjaśnienie …

Wyjaśnienie:

Pozwolić #t = a_ (cf) (x; b) #

Następnie:

#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #

Innymi słowy, # t # jest stałym punktem mapowania:

#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #

Zauważ, że sam, # t # będąc stałym punktem #F (t) # nie wystarczy, aby to udowodnić #t = a_ (cf) (x; b) #. Mogą występować niestabilne i stabilne punkty stałe.

Na przykład, #2016^(1/2016)# jest stałym punktem #x -> x ^ x #, ale nie jest rozwiązaniem # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Nie ma rozwiązania).

Rozważmy jednak #a = e #, #x = 0.1 #, #b = 1.0 # i #t = 1.880789470 #

Następnie:

#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0,1 + 1 / 1,880789470) #

# ~~ e ^ (0,1 + 0,5316916199) #

# = e ^ 0.6316916199 #

# ~~ 1.880789471 ~~ t #

Więc ta wartość # t # jest bardzo blisko stałego punktu #F_ (a, b, x) #

Aby udowodnić, że jest stabilny, rozważ pochodną w pobliżu # t #.

# d / (ds) F_ (e, 1,0,1) (s) = d / (ds) e ^ (0,1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) #

Więc znajdujemy:

#F '_ (e, 1,0,1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~~ -0,5316916199 #

Ponieważ jest to wartość ujemna i wartość bezwzględna mniejsza niż #1#, punkt stały w # t # jest stabilny.

Zauważ również, że dla każdej niezerowej wartości rzeczywistej # s # mamy:

#F '_ (e, 1,0,1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) <0 #

To jest #F_ (e, 1,0,1) (s) # jest ściśle monotonicznie malejący.

Stąd # t # jest unikalnym stabilnym punktem stałym.

Odpowiedź:

Zachowanie skurczowe.

Wyjaśnienie:

Z #a = e # i #x = x_0 # iteracja następuje jak

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # i również

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

Zbadajmy warunki skurczu w operatorze iteracji.

Odejmowanie obu stron

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

ale w pierwszym przybliżeniu

# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #

lub

# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} approx -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) ((y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {k-1}) #

Potrzebujemy skurczu

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

Osiąga się to, jeśli

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. Jeżeli #b> 0 # i #k = 1 # mamy.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

Tak dane # x_0 # i #b# ta relacja pozwala nam znaleźć początkową iterację w ramach zachowania skurczowego.