T_n (x) jest wielomianem Czebyszewa stopnia n. FCF cosh_ (cf) (T_n (x); T_n (x)) = cosh (T_n (x) + (T_n (x)) / cosh (T_n (x) + ...)), x> = 1. Jak udowodnić, że wartość 18 sd tego FCF dla n = 2, x = 1,25 wynosi # 6.00560689395441650?

Odpowiedź:

Zobacz wyjaśnienie i superkratyczne wykresy dla tego skomplikowanego FCF

Wyjaśnienie:

y jest hiperboliczną wartością cosinusową, a więc, #abs y> = 1 # i FCF

wykres jest symetryczny względem osi y.

# T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #

FCF jest generowany przez

# y = cosh (T_2 (x) (1 + 1 / y)) #

Dyskretny analog do przybliżania y jest różnicą nieliniową

równanie

# y_n = cosh ((2x ^ 2-1) (1 + 1 / y_ (n-1))) #.

Tutaj x = 1,25.

Wykonywanie 37 iteracji, za pomocą startera # y_0 = cosh (1) = 1.54308.. #, długa precyzja 18-sd y = 18-sd

# y_37 = 6,00560689395441650 #

z # Deltay_36 = y_37-y_36 = 0 #, dla tej precyzji.

graph {(2x ^ 2-1- (y / (1 + y)) ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0,5)) (x-1,25) ((x-1,25) ^ 2 + (y-6) ^ 2-.001) = 0 -2 2 0 10)}

Wykres dla 6-sd w y (1,25) = 6,00561:

graph {(2x ^ 2-1- (y / (1 + y)) ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0,5)) ((x-1,25) ^ 2 + (y-6) ^ 2-. 001) = 0 1.2499998 1.2500001 6.0056 6.00561}

Oczekuję aplikacji tego typu FCF w komputerze

przybliżenia.

Zauważ, że mimo że jest to funkcja parzysta, w środku, wykres jest nieobecny, a to jest nieciągłość.