Jak mnożysz (2-3i) (- 3-7i) w formie trygonometrycznej?

Przede wszystkim musimy przekształcić te dwie liczby w formy trygonometryczne.

Jeśli # (a + ib) # jest liczbą złożoną, # u # jest jego wielkością i #alfa# to jego kąt # (a + ib) # w formie trygonometrycznej jest napisane jako #u (cosalpha + isinalpha) #.

Wielkość liczby zespolonej # (a + ib) # jest dany przez#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # a jego kąt jest określony przez # tan ^ -1 (b / a) #

Pozwolić # r # być wielkością # (2-3i) # i # theta # być jego kątem.

Wielkość # (2-3i) = sqrt (2 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt (4 + 9) = sqrt13 = r #

Kąt # (2-3i) = Tan ^ -1 (-3/2) = theta #

#implies (2-3i) = r (Costheta + isintheta) #

Pozwolić # s # być wielkością # (- 3-7i) # i # phi # być jego kątem.

Wielkość # (- 3-7i) = sqrt ((- 3) ^ 2 + (- 7) ^ 2) = sqrt (9 + 49) = sqrt58 = s #

Kąt # (- 3-7i) = Tan ^ -1 ((- 7) / - 3) = Tan ^ -1 (7/3) = phi #

#implies (-3-7i) = s (Cosphi + isinphi) #

Teraz,

# (2-3i) (- 3-7i) #

# = r (Costheta + isintheta) * s (Cosphi + isinphi) #

# = rs (costhetacosphi + isinthetacosphi + icosthetasinphi + i ^ 2sinthetasinphi) #

# = rs (costhetacosphi-sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi + costhetasinphi) #

# = rs (cos (theta + phi) + isin (theta + phi)) #

Tutaj mamy wszystko, co jest obecne, ale jeśli tutaj bezpośrednio zastąpi wartości, które byłyby niechlujne dla znalezienia #theta + phi # więc najpierw się przekonajmy # theta + phi #.

# theta + phi = tan ^ -1 (-3/2) + tan ^ -1 (7/3) #

Wiemy to:

# tan ^ -1 (a) + tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a + b) / (1-ab)) #

#implies tan ^ -1 (-3/2) + tan ^ -1 (7/3) = tan ^ -1 (((- 3/2) + (7/3)) / (1 - (- 3 / 2) (7/3))) #

# = tan ^ -1 ((- 9 + 14) / (6 + 21)) = tan ^ -1 ((5) / (27)) #

#implies theta + phi = tan ^ -1 ((5) / (27)) #

#rs (cos (theta + phi) + isin (theta + phi)) #

# = sqrt13sqrt58 (cos (tan ^ -1 (5/27)) + isin (tan ^ -1 (5/27))) #

# = sqrt754 (cos (tan ^ -1 (5/27)) + isin (tan ^ -1 (5/27))) #

To twoja ostateczna odpowiedź.

Możesz to zrobić również inną metodą.

Najpierw mnożąc liczby zespolone, a następnie zmieniając je na formę trygonometryczną, co jest znacznie łatwiejsze.

# (2-3i) (- 3-7i) = - 6-14i + 9i + 21i ^ 2 = -6-5i-21 = -27-5i #

Teraz zmień # -27-5i # w formie trygonometrycznej.

Wielkość # -27-5i = sqrt ((- 27) ^ 2 + (- 5) ^ 2) = sqrt (729 + 25) = sqrt754 #

Kąt # -27-5i = tan ^ -1 (-5 / -27) = tan ^ -1 (5/27) #

#implies -27-5i = sqrt754 (cos (tan ^ -1 (5/27)) + isin (tan ^ -1 (5/27))) #