Liczba bakterii w kulturze wzrosła z 275 do 1135 w ciągu trzech godzin. Jak znaleźć liczbę bakterii po 7 godzinach?

Odpowiedź:

#7381#

Wyjaśnienie:

Bakterie są rozmnażane bezpłciowo w tempie wykładniczym. Modelujemy to zachowanie za pomocą funkcji wzrostu wykładniczego.

#color (biały) (aaaaaaaaaaaaaaaaaa) kolor (niebieski) (y (t) = A_ (o) * e ^ (kt) #

Gdzie

# "y (" t ") = wartość w czasie (" t ")" #
#A _ ("o") = "oryginalna wartość" #
# "e = numer Eulera 2.718" #
# "k = stopa wzrostu" #
# "t = czas upłynął" #

Powiedziano ci, że wyrosła kultura bakterii #color (czerwony) 275 # do #color (czerwony) 1135 # w #color (czerwony) „3 godziny” #. Powinno to automatycznie powiedzieć, że:

#color (niebieski) A _ („o”) # = #color (czerwony) 275 #
#color (niebieski) "y" ("t") # = #color (czerwony) "1135" #, i
#color (niebieski) „t” # = #color (czerwony) "3 godziny" #

Podłączmy to wszystko do naszej funkcji.

#color (biały) (aaaaaaaaaa) kolor (niebieski) (y (t) = A_ (o) * e ^ (kt)) -> kolor (czerwony) 1135 = (kolor (czerwony) 275) * e ^ (k * kolor (czerwony) 3) #

Możemy pracować z tym, co mamy powyżej, ponieważ znamy każdą wartość z wyjątkiem # „stopa wzrostu”, kolor (niebieski) k ”#, dla których rozwiążemy.

#kolor biały)(--)#

#ul "Rozwiązywanie dla k" #

#color (czerwony) 1135 = (kolor (czerwony) 275) * e ^ (k * kolor (czerwony) 3) #
#stackrel "4.13" anuluj ((1135)) / ((275)) = anuluj (275) / (275) e ^ (k * 3) #
# 4.13 = e ^ (k * 3) #
#color (biały) (a) _ (ln) 4.13 = kolor (biały) (a) _cancel (ln) (anuluj ^ (k * 3)) #
# 1.42 = k * 3 #
#stackrel "0.47" anuluj ((1,42)) / ((3)) = k * anuluj (3) / (3) #
# 0,47 = k #

Dlaczego to wszystko wymyśliliśmy? Pytanie nie wymagało rozwiązania liczby bakterii # "czas = 7 godzin" # i nie dla #color (niebieski) k, „tempo wzrostu” #?

Prosta odpowiedź brzmi: musieliśmy dowiedzieć się #"poziom wzrostu"# więc stamtąd możemy obliczyć wartość na czas #(7)# ustawiając nową funkcję, ponieważ do rozwiązania pozostanie tylko 1 nieznana lewica.

#kolor biały)(--)#

#ul "Rozwiązywanie liczby bakterii po 7 godzinach" #

#color (niebieski) (y (t) = A_ (o) * e ^ (kt)) -> y = (275) * e ^ (0,47 * 7) #

#y = (275) * e ^ (3,29) #

#y = (275) * (26,84) #

#y = 7381 #

Tak więc kolonia bakterii wzrośnie #7381# w liczbie po #"7 godzin"#

Początkowa populacja wynosi 250 bakterii, a populacja po 9 godzinach podwaja populację po 1 godzinie. Ile bakterii będzie po 5 godzinach?

Zakładając jednolity wzrost wykładniczy, populacja podwaja się co 8 godzin. Możemy zapisać wzór dla populacji jako p (t) = 250 * 2 ^ (t / 8), gdzie t jest mierzone w godzinach. 5 godzin po punkcie początkowym populacja wyniesie p (5) = 250 * 2 ^ (5/8) ~ = 386

Pan Lee może pomalować 20 krzeseł w ciągu godzin. Używa 3 litrów farby na każde 12 krzeseł, które malował. Jak znaleźć, pod względem liczby t, liczbę krzeseł, które może malować w ciągu 3 godzin?

Zobacz proces rozwiązania poniżej: Możemy zapisać to równanie: t „godziny” = 20 „krzeseł” Możemy teraz pomnożyć każdą stronę równania przez kolor (czerwony) (3), aby znaleźć liczbę krzeseł, w których pan Lee może malować 3 godziny, jeśli maluje je w tym samym tempie. kolor (czerwony) (3) xx t „godziny” = kolor (czerwony) (3) xx 20 „krzesła” 3 t „godziny” = 60 „krzeseł” Pan Lee może pomalować 60 krzeseł w ciągu 3 godzin.

Liczba bakterii w kulturze wzrosła z 275 do 1135 w ciągu trzech godzin. Jak znaleźć liczbę bakterii po 7 godzinach i użyć modelu wzrostu wykładniczego: A = A_0e ^ (rt)?

~~ 7514 A = A_0e ^ (rt) t w godzinach. A_0 = 275. A (3) = 1135. 1135 = 275e ^ (3r) 1135/275 = e ^ (3r) Weź naturalne logi obu stron: ln (1135/275) = 3r r = 1 / 3ln (1135 / 275) hr ^ (- 1) A (t) = A_0e ^ (1 / 3ln (1135/275) t) Zakładam, że to dopiero po 7 godzinach, a nie 7 godzinach po początkowej 3. A (7) = 275 * e ^ (7 / 3ln (1135/275)) ~~ 7514