Czym jest całka e ^ (x ^ 3)?

Nie można wyrazić tej całki w kategoriach funkcji elementarnych.

W zależności od tego, czego potrzebujesz integracji, możesz wybrać sposób integracji lub inny.

Integracja za pomocą serii zasilania

Odwołaj to # e ^ x # jest analityczny #mathbb {R} #, więc #forall x in zachowuje się następująca równość

# e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!} #

a to oznacza

# e ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!} #

Teraz możesz zintegrować:

#int e ^ {x ^ 3} dx = int (sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

Integracja poprzez funkcję niekompletnej gammy

Po pierwsze, zastąp # t = -x ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

Funkcja # e ^ {x ^ 3} # jest ciągły. Oznacza to, że jego pierwotne funkcje są #F: Mathbb {R} do Mathbb {R} # takie

#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

i jest to dobrze zdefiniowane, ponieważ funkcja #f (t) = e ^ {- t} t ^ {- 2/3} # jest taki, dla którego #t do 0 # zawiera #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, tak że niewłaściwa całka # int_0 ^ s f (t) dt # jest skończone (wołam # s = -y ^ 3 #).

Więc to masz

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

Zauważ to #t ^ {- 2/3} <1 hArr t> 1 #. Oznacza to, że dla #t do + infty # dostajemy to #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, więc to # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. Tak więc po niewłaściwej całce #f (t) # jest skończone:

# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = Gamma (1/3) #.

Możemy pisać:

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt) #

to jest

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.

W końcu dostajemy

#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 Gamma (1/3, t) = C + 1/3 Gamma (1/3, -x ^ 3) #