Matematycznie wyprowadź korzenie koloru (biały) („d”) y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Odpowiedź:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) „” # dla #n = 0, 1, 2 #

Wyjaśnienie:

Dany:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Podstawienie trygonometryczne

Ponieważ ten sześcienny ma #3# prawdziwe zera, metoda Cardano spowoduje wyrażenia obejmujące nieredukowalne pierwiastki sześcienne liczb zespolonych. Metoda Cardano nie jest błędna, ale nie jest zbyt przyjazna, chyba że korzenie sześcianu mają prostą formę.

Jako alternatywę w takich przypadkach wybrałbym substytucję trygonometryczną.

Pozwolić:

#x = k cos theta #

Sztuką jest wybrać # k # takie, które zawiera wynikowe wyrażenie # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

Mamy:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (biały) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 3k cos theta - 1 #

#color (biały) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (biały) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "" # z # k = 2 #

#color (biały) (0) = 2cos 3theta - 1 #

Więc:

#cos 3 theta = 1/2 #

Więc:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # dla dowolnej liczby całkowitej # n #

Więc:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 ”” # dla dowolnej liczby całkowitej # n #

To da #3# wyraźne możliwe wartości #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) „” # dla #n = 0, 1, 2 #.