Jak podzielić (i + 8) / (3i -1) w formie trygonometrycznej?

# (i + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

Przede wszystkim musimy przekształcić te dwie liczby w formy trygonometryczne.

Jeśli # (a + ib) # jest liczbą złożoną, # u # jest jego wielkością i #alfa# to jego kąt # (a + ib) # w formie trygonometrycznej jest napisane jako #u (cosalpha + isinalpha) #.

Wielkość liczby zespolonej # (a + ib) # jest dany przez#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # a jego kąt jest określony przez # tan ^ -1 (b / a) #

Pozwolić # r # być wielkością # (8 + i) # i # theta # być jego kątem.

Wielkość # (8 + i) = sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt65 = r #

Kąt # (8 + i) = Tan ^ -1 (1/8) = theta #

#implies (8 + i) = r (Costheta + isintheta) #

Pozwolić # s # być wielkością # (- 1 + 3i) # i # phi # być jego kątem.

Wielkość # (- 1 + 3i) = sqrt ((- 1) ^ 2 + 3 ^ 2) = sqrt (1 + 9) = sqrt10 = s #

Kąt # (- 1 + 3i) = Tan ^ -1 (3 / -1) = Tan ^ -1 (-3) = phi #

#implies (-1 + 3i) = s (Cosphi + isinphi) #

Teraz,

# (8 + i) / (- 1 + 3i) #

# = (r (Costheta + isintheta)) / (s (Cosphi + isinphi)) #

# = r / s * (Costheta + isintheta) / (Cosphi + isinphi) * (Cosphi-isinphi) / (Cosphi-isinphi #

# = r / s * (costhetacosphi + isinthetacosphi-icosthetasinphi-i ^ 2sinthetasinphi) / (cos ^ 2phi-i ^ 2sin ^ 2phi) #

# = r / s * ((costhetacosphi + sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi-costhetasinphi)) / (cos ^ 2phi + sin ^ 2phi) #

# = r / s * (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) / (1) #

# = r / s (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) #

Tutaj mamy wszystko, co jest obecne, ale jeśli tutaj bezpośrednio zastąpi wartości, które byłyby niechlujne dla znalezienia #theta -phi # więc najpierw się przekonajmy # theta-phi #.

# theta-phi = tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) #

Wiemy to:

# tan ^ -1 (a) -tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a-b) / (1 + ab)) #

#implies tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) = tan ^ -1 (((1/8) - (- 3)) / (1+ (1/8) (- 3))) #

# = tan ^ -1 ((1 + 24) / (8-3)) = tan ^ -1 (25/5) = tan ^ -1 (5) #

#implies theta -phi = tan ^ -1 (5) #

# r / s (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) #

# = sqrt65 / sqrt10 (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

# = sqrt (65/10) (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

# = sqrt (13/2) (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

To twoja ostateczna odpowiedź.

Możesz to zrobić również inną metodą.

Najpierw dzieląc liczby zespolone, a następnie zmieniając je na formę trygonometryczną, co jest znacznie łatwiejsze.

Przede wszystkim uprośćmy podaną liczbę

# (i + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

Pomnóż i podziel przez koniugat liczby zespolonej obecnej w mianowniku, tj # -1-3i #.

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = ((8 + i) (- 1-3i)) / ((- 1 + 3i) (- 1-3i)) = (- 8-24i-i -3i ^ 2) / ((- 1) ^ 2- (3i) ^ 2) #

# = (- 8-25i + 3) / (1 - (- 9)) = (- 5-25i) / (1 + 9) = (- 5-25i) / 10 = -5 / 10- (25i) / 10 = -1 / 2- (5i) / 2 #

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = - 1 / 2- (5i) / 2 #

Pozwolić # t # być wielkością # (1 / 10- (5i) / 2) # i # beta # być jego kątem.

Wielkość # (- 1 / 2- (5i) / 2) = sqrt ((- 1/2) ^ 2 + (- 5/2) ^ 2) = sqrt (1/4 + 25/4) = sqrt (26 / 4) = sqrt (13/2) = t #

Kąt # (- 1 / 2- (5i) / 2) = Tan ^ -1 ((- 5/2) / (- 1/2)) = tan ^ -1 (5) = beta #

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = t (Cosbeta + isinbeta) #

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = sqrt (13/2) (Cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #.