Odpowiedź:
Zobacz wyjaśnienie
Wyjaśnienie:
Pozwolić # a = p / q # gdzie # p # i # q # są dodatnimi liczbami całkowitymi.
# 1ltp / q # w związku z tym # qltp #. # p / qlt2 # w związku z tym # plt2q #. W związku z tym # qltplt2q #.
# a + 1 / a = p / q + q / p = (pp) / (qp) + (qq) / (pq) = (p ^ 2 + q ^ 2) / (pq) = (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2-2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) - (2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) -2 #
# (q + q) ^ 2 / (qq) lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (2q + q) ^ 2 / (2qq) #*
# (2q) ^ 2 / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (3q) ^ 2 / (2q ^ 2) #
# (4q ^ 2) / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (9q ^ 2) / (2q ^ 2) #
# 4lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt9 / 2 #
# 4-2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt9 / 2-2 #
# 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt5 / 2 #
# 2lta + 1 / alt5 / 2 #
# 5 / 2lt6 / 2 #
# 5 / 2lt3 #
# 2lta + 1 / alt3 #
~~ Bardziej zaawansowane tematy do przodu ~~
* Zakłada się, że jako # p # wzrasta, # (p + q) ^ 2 / (pq) # wzrasta. Można to sprawdzić intuicyjnie, patrząc na wykres # y = (x + q) ^ 2 / (xq) # na #x in (q, 2q) # dla różnych wartości dodatnich # q #lub za pomocą poniższego procesu rachunku różniczkowego.
~
# del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = 1 / qdel / (delp) (p + q) ^ 2 / p = 1 / q (pdel / (delp) (p + q) ^ 2 - (p + q) ^ 2del / (delp) p) / p ^ 2 = 1 / q (p 2 (p + q) - (p + q) ^ 2 1) / p ^ 2 = 1 / q (2p (p + q) - (p + q) ^ 2) / p ^ 2 = ((2p ^ 2 + 2pq) - (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2)) / (p ^ 2q) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) #.
Na #p in (q, 2q) #:
Od # pgtqgt0 #, # p ^ 2gtq ^ 2 # a zatem # p ^ 2-q ^ 2gt0 #.
Od #q> 0 #, # p ^ 2qgt0 #
Od # p ^ 2-q ^ 2gt0 # i # p ^ 2qgt0 #, # (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #
Od # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) # i # (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #, # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) gt0 #
W związku z tym # (p + q) ^ 2 / (pq) # rośnie ze stałą # q # i # qltplt2q # bo # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) # jest pozytywny.
~~~~
Odpowiedź:
W opisie
Wyjaśnienie:
Tutaj ograniczenie (1):
# 1 <a <2 #
Ograniczenie (2):
Według twierdzenia odwrotnego
# 1/1> 1 / a> 1/2 #
# 1> a> 1/2 #
W ograniczeniu 1 dodaj 1 po obu stronach, # 1 + 1 <a + 1 <2 + 1 #
# 2 <a + 1 <3 #
#color (czerwony) (a + 1 <3) #
W tym samym ograniczeniu dodaj 1/2
# (1 + 1/2) <(a + 1/2) <(2 + 1/2) #
Znowu zauważ, że #2 <2+1/2#
Więc # a + 1/2 # musi być mniejsza niż 2
#color (czerwony) (a + 1/2) <2 #
Stąd w ograniczeniu 2, # 1> a> 1/2 #
Dodaj po obu stronach, # 1 + a> a + 1 / a> 1/2 + a #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 #
Zrobiliśmy tak, ponieważ # a + 1 <3 #
Więc # a + 1 / a # musi być mniejsza niż 3.
Jeszcze raz # a + 1/2 <2 # ale w tym ograniczeniu # a + 1 / a> a + 1/2 #
Więc, # a + 1 / a # musi być większa niż 2.
Stąd, # 1> 1 / a> 1
Dodając po obu stronach, # 1 + a> a + 1 / a> a + 1/2 #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 # udowodnione
